Question

20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度，建立極坐標(biāo)系．已知曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}+2cosα}\\{y=3+2sinα}\end{array}\right.$（α∈[0，2π]，α為參數(shù)），曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）=a（a∈R）．若曲線C₁與曲線C₂有且僅有一個公共點，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 首先把曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}+2cosα}\\{y=3+2sinα}\end{array}\right.$（α∈[0，2π]，α為參數(shù)）轉(zhuǎn)化為：$（x-\sqrt{2}）^{2}+（y-3）^{2}=4$，
進(jìn)一步把曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）=a（a∈R）轉(zhuǎn)化為：$\sqrt{3}x+y-2a=0$．
再根據(jù)曲線C₁與曲線C₂有且僅有一個公共點，利用點到直線的距離等于半徑求出相應(yīng)的結(jié)果．

解答 解：曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}+2cosα}\\{y=3+2sinα}\end{array}\right.$（α∈[0，2π]，α為參數(shù)）轉(zhuǎn)化為：$（x-\sqrt{2}）^{2}+（y-3）^{2}=4$，
曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）=a（a∈R）轉(zhuǎn)化為$\frac{1}{2}ρsinθ+\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ=a$，
即：$\sqrt{3}x+y-2a=0$．
由于曲線C₁與曲線C₂有且僅有一個公共點，
所以：$\frac{|\sqrt{6}+3-2a|}{2}=2$
解得：a=$\frac{\sqrt{6}-1}{2}$或$\frac{7+\sqrt{6}}{2}$．

點評 本題考查的知識點：參數(shù)方程及極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，直線與曲線的位置關(guān)系，點到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．