Question

15．已知實數(shù)數(shù)列{a_n}滿足：a₁=3，a_n=$\frac{n+2}{3n}$（a_n-1+2），n≥2，證明：當(dāng)n≥2時，{a_n}是單調(diào)減數(shù)列．

Answer 1

分析 利用作差法和數(shù)學(xué)歸納法即可證明．

解答 證明：當(dāng)n≥1時，有a_n+1-a_n=[$\frac{n+3}{3（n+1）}$-1]a_n+$\frac{2（n+2）}{3（n+1）}$=$\frac{2}{3（n+1）}$（n+3-na_n），
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：a_n＞1+$\frac{n}{3}$（n≥2，n∈N*），
（1）當(dāng)n=2時，a₂=$\frac{4}{6}$（3+2）=$\frac{10}{3}$＞1+$\frac{3}{2}$，
（2）假設(shè)n=k（k≥2）時，結(jié)論成立，即a_k＞1+$\frac{k}{3}$，
那么a_k+1=$\frac{k+3}{3（k+1）}$（a_k+2）＞$\frac{k+3}{3（k+1）}$（1+$\frac{3}{k}$+2）=1+$\frac{3}{k}$＞1+$\frac{3}{1+k}$，
故由（1）（2）可知，a_n＞1+$\frac{n}{3}$，
因此當(dāng)n≥2，n∈N*，a_n+1-a_n=$\frac{2}{3（n+1）}$（n+3-na_n）＜0，
即當(dāng)n≥2時，{a_n}是單調(diào)減數(shù)列．

點評 本題考查數(shù)列的單調(diào)性、數(shù)學(xué)歸納法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．