Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-3x+alnx+4（a＞0）
（1）若f（x）在其定義域是單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=2時，函數(shù)y=f（x）在[eⁿ，+∞）（n∈Z）有零點，求n的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)單調(diào)，其導(dǎo)函數(shù)大于等于0或小于等于0恒成立；二次不等式恒成立，即a≤0，又a≠0，從而得出實數(shù)a的取值范圍．
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)性，取特殊值，求出n的最大值即可．

解答 解：（1）f′（x）=x-3+$\frac{a}{x}$，
若函數(shù)f（x）是定義域（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，則只能f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
即x-3+$\frac{a}{x}$≥0在（0，+∞）上恒成立，
即只要a≥3x-x²在（0，+∞）上恒成立，
∴實數(shù)a的取值范圍[$\frac{9}{4}$，+∞）．
（2）a=2時，f（x）=$\frac{1}{2}$x²-3x+2lnx+4，
f′（x）=$\frac{{x}^{2}-3x+2}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1或x＞2，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜2，
∴f（x）在（0，1）遞增，在（1，2）遞減，在（2，+∞）遞增，
∴f（x）極大值=f（1）=$\frac{3}{2}$＞0，f（x）極小值=f（2）=2ln2＞0，
故n∈N時，f（x）在[eⁿ，+∞）內(nèi)不存在零點，
當(dāng)n=-1時，f（e^-1）=$\frac{2e-3}{e}$+$\frac{1}{2{e}^{2}}$＞0，
n=-2時，f（e^-2）=$\frac{1-6{e}^{2}}{2{e}^{4}}$＜0，
故在[e^-2，e^-1]內(nèi)存在一零點，
故函數(shù)f（x）在[eⁿ，+∞），（n∈Z）有零點時，n的最大值是-2．

點評 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點，屬于中檔題．