Question

已知f（x）=x³-3x²+m，在區(qū)間[1，3]上任取三個(gè)數(shù)a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）為邊長的三角形，則m的取值范圍是（　�。�

• A、m＞2
• B、m＞4
• C、m＞6
• D、m＞8

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：三角形的邊長為正數(shù)，而且任意兩邊之和大于第三邊才能構(gòu)成三角形，故只需求出函數(shù)在區(qū)間[1，3]上的最小值與最大值，從而可得不等式，即可求解．

解答： 解：由f′（x）=3x²-6x=3x（x-2）=0，得到x₁=0（舍去），x₂=2，
∵函數(shù)的定義域?yàn)閇1，3]，
∴函數(shù)在[1，2）上f′（x）＜0，（2，3]上f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2）單調(diào)遞減，在區(qū)間（2，3]單調(diào)遞增，
則f（x）_min=f（2）=m-4，f（x）_max=f（3）=m，f（1）=m-2，
由題意知，f（2）=m-4＞0  ①；
f（2）+f（2）＞f（3），即-8+2m＞m②，
由①②得到m＞8．
故選D．

點(diǎn)評：本題以函數(shù)為載體，考查構(gòu)成三角形的條件，解題的關(guān)鍵是求出函數(shù)在區(qū)間[1，3]上的最小值與最大值