Question

7．已知橢圓${C_{\;}}：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，一個短軸端點到焦點的距離為2．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知直線l：x+4y-2=0，過點A（2，2）作直線m交橢圓C于不同的兩點E，F(xiàn)交直線l于點K，問：是否存在常數(shù)t，使得$\frac{1}{|AE|}+\frac{1}{|AF|}=\frac{t}{|AK|}$恒成立，并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意，列方程組，求得a和b的值，即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）求得K的橫坐標，將直線方程代入橢圓方程，$\frac{|AK|}{|AE|}+\frac{|AK|}{|AF|}=|{x_A}-{x_k}|•（\frac{1}{{|{x_A}-{x_E}|}}+\;\frac{1}{{|{x_A}-{x_F}|}}）$，利用韋達定理，即可求得t的值．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知：$\left\{\begin{array}{l}e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\\ a=2\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=1\\ c=\sqrt{3}\end{array}\right.$，
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．       …（4分）
（Ⅱ） 設(shè)直線m的方程為y=kx+b，有b=2-2k．
解得點K的橫坐標${x_K}=\frac{2-4b}{1+4k}$，…（5分）
將直線m代入橢圓方程得：（1+4k²）x²+8kbx+4b²-4=0，
由韋達定理，得${x_E}+{x_F}=\frac{-8kb}{{1+4{k^2}}}$，${x_E}{x_F}=\frac{{4{b^2}-4}}{{1+4{k^2}}}$，…（7分）
所以$\frac{|AK|}{|AE|}+\frac{|AK|}{|AF|}=|{x_A}-{x_k}|•（\frac{1}{{|{x_A}-{x_E}|}}+\;\frac{1}{{|{x_A}-{x_F}|}}）$=$|2-\frac{2-4b}{1+4k}|•\frac{{|4-（{x_F}+{x_E}）|}}{{|4-2（{x_F}+{x_E}）+{x_F}{x_E}|}}$=$|\frac{8k+4b}{1+4k}|•\frac{{|4{k^2}+2bk+1|}}{{|4{k^2}+4bk+{b^2}|}}$=2．…（11分）
∴存在實數(shù)t=2，使得$\frac{1}{|AE|}+\frac{1}{|AF|}=\frac{t}{|AK|}$恒成立…（12分）

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達定理，弦長公式，考查計算能力，屬于中檔題．