Question

【題目】已知左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）的橢圓 過點(diǎn) ，且橢圓C關(guān)于直線x=c對(duì)稱的圖形過坐標(biāo)原點(diǎn)．
（I）求橢圓C的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程．
（II）圓 與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，R為線段AB上任一點(diǎn)，直線F1R交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，若AB為圓P1的直徑，且直線F1R的斜率大于1，求|PF1||QF1|的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵橢圓C過點(diǎn) ，∴ ，① ∵橢圓C關(guān)于直線x=c對(duì)稱的圖形過坐標(biāo)原點(diǎn)，∴a=2c，
∵a2=b2+c2 ， ∴ ，②
由①②得a2=4，b2=3，a=2，c=1，
∴橢圓C的離心率 ，標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
（Ⅱ）因?yàn)锳B為圓P1的直徑，所以點(diǎn)P1 為線段AB的中點(diǎn)，
設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），則， ，又 ，
所以 ，則（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）=0，故 ，則直線AB的方程為 ，即 ．
代入橢圓C的方程并整理得 ，
則 ，故直線F1R的斜率 ．
設(shè)F1R：y=k（x+1），由 ，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，
設(shè)P（x3 ， y3），Q（x4 ， y4），則有 ， ．
又 ， ，
所以|PF1||QF1|=（1+k2）|x3x4+（x3+x4）+1|= ，
因?yàn)? ，所以 ，
即|PF1||QF1|的取值范圍是
【解析】（Ⅰ）利用橢圓C過點(diǎn) ，∵橢圓C關(guān)于直線x=c對(duì)稱的圖形過坐標(biāo)原點(diǎn)，推出a=2c，然后求解橢圓C的離心率，標(biāo)準(zhǔn)方程．（Ⅱ）設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及平方差法求出AB的斜率，得到直線AB的方程，代入橢圓C的方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)F1R：y=k（x+1），聯(lián)立 ，設(shè)P（x3 ， y3），Q（x4 ， y4），利用韋達(dá)定理，結(jié)合 ， ，化簡(jiǎn)|PF1||QF1|，通過 ，求解|PF1||QF1|的取值范圍．