Question

17．在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知$\frac{sinBsinC}{sinA}$=$\frac{3\sqrt{7}}{2}$，b=4a，a+c=5，則△ABC的面積為$\frac{3\sqrt{7}}{4}$．

Answer 1

分析 由已知及正弦定理可求$\frac{bsinC}{a}$=$\frac{3\sqrt{7}}{2}$，又b=4a，可求sinC，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosC，利用余弦定理解得a，b，c的值，進(jìn)而利用三角形面積公式即可計算得解．

解答 解：由正弦定理及$\frac{sinBsinC}{sinA}$=$\frac{3\sqrt{7}}{2}$，得$\frac{bsinC}{a}$=$\frac{3\sqrt{7}}{2}$，
又b=4a，
∴sinC=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$，
∵△ABC為銳角三角形，
∴cosC=$\frac{1}{8}$，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+（4a）^{2}-（5-a）^{2}}{2a×4a}$=$\frac{1}{8}$，解得a=1，b=4，c=4，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×1×4×$$\frac{3\sqrt{7}}{8}$=$\frac{3\sqrt{7}}{4}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{7}}{4}$．

點評 本題主要考查了正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．