Question

如圖，已知點P在圓柱的底面圓O上，AB，A₁B₁分別為圓O，圓O₁的直徑．
（Ⅰ）求證：BP⊥A₁P；
（Ⅱ）若該圓柱的體積V=12π，OA=2，∠AOP=

2

3

π，求二面角P-A₁B-A的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由圓的性質得AP⊥BP，由線面垂直得AA₁⊥BP，從而得到BP⊥平面PAA₁，由此能證明BP⊥A₁P．
（Ⅱ）以PB為x軸，PA為y軸．過P點的母線所在直線為Z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角P-A₁B-A的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵點P在圓柱的底面圓O上，AB，A₁B₁分別為圓O，圓O₁的直徑，
∴AP⊥BP，由AA₁⊥平面PAB，
得AA₁⊥BP，且AP∩AA₁=A，
∴BP⊥平面PAA₁，
故BP⊥A₁P．…（5分）
（Ⅱ）解：如圖建系（以PB為x軸，PA為y軸．過P點的母線所在直線為Z軸）
∵V_柱=12π，OA=2，∴AA₁=3，
由∠AOP=

2

3

π，知∠PAB=

π

6

，又∠APB=

π

2

，
從而BP=2，AP=2

3

，
∴P(0，0，0)，B(2，0，0)，A1(0，2

3

，3)，A(0，2

3

，0)，
設平面AA₁B和法向量為

n1

=(x1，y1，z1)，
由

n1 • AB =0 n1 • AA1 =0

知

n1

=(

3

，1，0)
設平面PA1B的法向量為

n2

=(x2，y2，z2)，
由

n2 • BP =0 n2 • PA1 =0

知

n2

=(0，

3

，2)…（10分）
由題意知二面角P-A₁B-A為銳二面角，
cosθ=|cos?

n1

，

n2

＞|=|

3

2 7

|=

21

14

因而所求二面角P-A₁B-A的余弦值為

21

14

．…（12分）

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．