Question

設數(shù)列{a_n}、{b_n}的前n項和分別為S_n、T_n，且S_n=

1

2

（3n²+7n），T_n=2（b_n-1）（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）把數(shù)列{a_n}、{b_n}的公共項從小到大排成新數(shù)列{c_n}，求證：{c_n}是等比數(shù)列；
（3）設d_n=

an，(n為奇數(shù)) bn，(n為偶數(shù))

，求數(shù)列{d_n}的前n項和D_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比關系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1；當n=1時，a₁=S₁．由此能求出a_n=3n+2（n∈N^*）．由T_n=2（b_n-1），得T_n+1=2（b_n+1-1），兩式相減推導出{b_n}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出bn=2n（n∈N^*）．
（2）c₁=8=a₂=b₃．假設cn=am=bk=2k，則3m+2=2^k，由此能證明{c_n}是首項為8，公比為4的等比數(shù)列．
（3）數(shù)列{d_n}的奇數(shù)項組成首項為5，公差為6的等差數(shù)列；數(shù)列{d_n}的偶數(shù)項組成首項為4，公比為4的等比數(shù)列．由此能求出數(shù)列{d_n}的前n項和D_n．

解答： （1）解：當n≥2時，an=Sn-Sn-1=

1

2

(3n2+7n)-

1

2

[3(n-1)2+7(n-1)]=3n+2；
當n=1時，a₁=S₁=5=3×1+2也滿足上式．
∴a_n=3n+2（n∈N^*）．
∵T_n=2（b_n-1）①，
∴T_n+1=2（b_n+1-1）②．
②-①得b_n+1=2b_n+1-2b_n，即b_n+1=2b_n．
由①得：b₁=T₁=2（b₁-1），則b₁=2．
∴{b_n}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
所以bn=2n（n∈N^*）．
（2）證明：c₁=8=a₂=b₃．
假設cn=am=bk=2k，則3m+2=2^k，
∴bk+1=2k+1=2•2k=2(3m+2)=3(2m+1)+1不是數(shù)列{a_n}中的項；bk+2=2k+2=4•2k=4(3m+2)=3(4m+2)+2是數(shù)列{a_n}中的第4m+2項．
∴cn+1=a4m+2=bk+2=2k+2，
從而

cn+1

cn

=

2k+2

2k

=4．
所以{c_n}是首項為8，公比為4的等比數(shù)列．
（3）解：∵d_n=

an，(n為奇數(shù)) bn，(n為偶數(shù))

，
∴數(shù)列{d_n}的奇數(shù)項組成首項為5，公差為6的等差數(shù)列；
數(shù)列{d_n}的偶數(shù)項組成首項為4，公比為4的等比數(shù)列．
①當n為偶數(shù)時，Dn=

n

2

×5+

1

2

×

n

2

×(

n

2

-1)×6+

4(1-4 n 2 )

1-4

=

3

4

n2+n-

4

3

+

1

3

•2n+2．
②當n為奇數(shù)時，Dn=Sn-1+an=

3

4

(n-1)2+(n-1)-

4

3

+

1

3

•2n+1+(3n+2)=

3

4

n2+

5

2

n+

5

12

+

1

3

•2n+1，
經(jīng)檢驗，當n=1時上式也成立．
綜上所述，Dn=

3 4 n2+n- 4 3 + 1 3 •2n+2，n為偶數(shù) 3 4 n2+ 5 2 n+ 5 12 + 1 3 •2n+1，n為奇數(shù)

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．