Question

8．如圖①，在△ABC中，已知AB=15，BC=14，CA=13．將△ABC沿BC邊上的高AD折成一個如圖②所示的四面體A-BCD，使得圖②中的BC=11．
（1）求二面角B-AD-C的平面角的余弦值；
（2）在四面體A-BCD的棱AD上是否存在點P，使得$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$=0？若存在，請指出點P的位置；若不存在，請給出證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖象折之前和折之后的邊長關(guān)系，結(jié)合二面角的定義進行求解．
（2）假設(shè)在四面體A-BCD的棱AD上存在點P，使得$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}=0$根據(jù)向量數(shù)量積的定義結(jié)合向量的運算法則進行化簡求解．

解答 解：（1）由已知AD⊥BD，AD⊥CD，
故二面角B-AD-C的平面角為∠BDC，
在圖①，設(shè)BD=x，AD=h，則CD=14-x，
在△ABD與△ACD中，分別用勾股定理得x²+h²=15²，（14-x）²+h²=13²，
得x=9，h=12，從而AD=12，BD=9，CD=5，
在圖②的△BCD中，由余弦定理得BC²=BD²+CD²-2BD•CDcos∠BDC，
即11²=9²+5²-2×9×5cos∠BDC，則cos∠BDC=-$\frac{1}{6}$，
即二面角B-AD-C的平面角的余弦值是-$\frac{1}{6}$．
（2）假設(shè)在四面體A-BCD的棱AD上存在點P，使得$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}=0$，
則0=$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$=（$\overrightarrow{PD}$+$\overrightarrow{DB}$）•（$\overrightarrow{PD}$+$\overrightarrow{DC}$）=$\overrightarrow{PD}$²+$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{PD}$+$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{DC}$+$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{PD}$²+0+0+9×5×（-$\frac{1}{6}$）=$\overrightarrow{PD}$²-$\frac{15}{2}$，
則|$\overrightarrow{PD}$|=$\frac{\sqrt{30}}{2}$＜12，符號題意，
即在棱AD上存在點P，使得$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}=0$，此時|$\overrightarrow{PD}$|=$\frac{\sqrt{30}}{2}$．

點評 本題主要考查二面角的計算以及向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查學生的運算和推理能力．