Question

13．已知函數(shù)f（x）（x∈R），f′（x）存在，記g（x）=f′（x），且g′（x）也存在，g′（x）＜0．
（1）求證：f（x）≤f（x₀）+f′（x₀）（x-x₀）；（x₀∈R）
（2）設(shè)${λ_i}∈{R^+}（i=1，2，3，…$n），且λ₁+λ₂+…+λ_n=1，x_i∈R（i=1，…，n）（n∈N₊）
求證：λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂）+…+λ_nf（x_n）≤f（λ₁x₁+λ₂x₂+…+λ_nx_n）
（3）已知a，f（a），f[f（a）]，f{f[（f（a）]}是正項(xiàng)的等比數(shù)列，求證：f（a）=a．

Answer 1

分析 （1）構(gòu)造輔助函數(shù)ϕ（x）=f（x）-f（x₀）-f'（x₀）（x-x₀），求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得ϕ（x）的極大值，ϕ（x）≤ϕ（x₀）=0，即可得f（x）≤f（x₀）+f'（x₀）（x-x₀）；
（2）由（1）可知，兩邊分別同乘以λ₁，λ₂，λ₃，…λ_n，采用累加法，得λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂）+…+λ_nf（x_n）≤（λ₁+λ₂+…+λ_n）f（x₀）+f'（x₀）•[λ₁（x₁-x₀）+λ₂（x₂-x₀）+…+λ_n（x_n-x₀）]，由λ₁+λ₂+…+λ_n=1，設(shè)x₀=λ₁x₁+λ₂x₂+…+λ_nx_n，則λ₁（x₁-x₀）+λ₂（x₂-x₀）+…+λ_n（x_n-x₀）=0，即可證明
λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂）+…+λ_nf（x_n）≤f（λ₁x₁+λ₂x₂+…+λ_nx_n）；
（3）分別求得f（a）=aq，f[f（a）]=aq²，f{f[f[f（a}}=aq³，λx₁+（1-λ）x₂=aq，f[λx₁+（1-λ）x₂]=f（aq）=f[f（a）]=aq²，可得：$λf（{x_1}）+（1-λ）f（{x_2}）=a{q^2}$=f[λx₁+（1-λ）x₂]，由n=2，λ₁=λ，λ₂=1-λ，即λf（x₁）+（1-λ）f（x₂）≤f[λx₁+（1-λ）x₂]，當(dāng)且僅當(dāng)x₁=x₂時成立，即a=aq²⇒a=1，可得f（a）=a．

解答 解：（1）證明：設(shè)ϕ（x）=f（x）-f（x₀）-f'（x₀）（x-x₀），則ϕ'（x）=f'（x）-f'（x₀）
∵g'（x）＜0故g（x）=f'（x）為減函數(shù)，則x=x₀為ϕ（x）的極大值點(diǎn)．
∵ϕ（x）≤ϕ（x₀）=0，即f（x）≤f（x₀）+f'（x₀）（x-x₀）（當(dāng)且僅當(dāng)在x=x₀取到）
（2）證明：由（1）可知：f（x₁）≤f（x₀）+f'（x₀）（x₁-x₀），
兩邊同乘以λ₁得λ₁f（x₁）≤λ₁f（x₀）+λ₁f'（x₀）（x₁-x₀），
λ₂f（x₂）≤λ₂f（x₀）+λ₂f'（x₀）（x₂-x₀），
…
λ_nf（x_n）≤λ_nf（x₀）+λ_nf'（x₀）（x_n-x₀），
上式各式相加，得λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂）+…+λ_nf（x_n）≤（λ₁+λ₂+…+λ_n）f（x₀）+f'（x₀）•[λ₁（x₁-x₀）+λ₂（x₂-x₀）+…+λ_n（x_n-x₀）]，
因?yàn)棣?SUB>1+λ₂+…+λ_n=1，設(shè)x₀=λ₁x₁+λ₂x₂+…+λ_nx_n，則λ₁（x₁-x₀）+λ₂（x₂-x₀）+…+λ_n（x_n-x₀）=0，
由此，λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂）+…+λ_nf（x_n）≤f（λ₁x₁+λ₂x₂+…+λ_nx_n））
等號當(dāng)且僅當(dāng)在x₁=x₂=…=x_n時成立，
（3）證明：記公比為q，q＞0，則f（a）=aq，f[f（a）]=aq²，f{f[f[f（a}}=aq³，
取x_1′=a，${x_2}=a{q^2}$，λ=$\frac{q}{1+q}$∈（0，1），
則λx₁+（1-λ）x₂=aq，f[λx₁+（1-λ）x₂]=f（aq）=f[f（a）]=aq²，
又∵λf（x₁）+（1-λ）f（x₂）=λf（a）+（1-λ）f（aq²），
=λf（a）+（1-λ）f{f[f（a）]}，
=λaq+（1-λ）aq³，
=aq³+λaq-λaq³，
=aq³+λaq（1-q²），
=aq³+$\frac{q}{1+q}$aq（1-q²），
=aq²，
即aq³+$\frac{q}{1+q}$λaq（1-q²）=aq²=f[λx₁+（1-λ）x₂]，
在（2）中取n=2，λ₁=λ，λ₂=1-λ，即λf（x₁）+（1-λ）f（x₂）≤f[λx₁+（1-λ）x₂]，
當(dāng)且僅當(dāng)x₁=x₂時成立，即a=aq²⇒q=1，
∴f（a）=a．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式恒成立，等比數(shù)列通項(xiàng)公式，考查“累加法“和“構(gòu)造法”，考查分析問題及解決問題得能力，屬于難題．