Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)N在線段B₁D₁上，且D₁N=2NB₁，點(diǎn)M在線段A₁B上，且BM=2MA₁．求證：MN∥平面AC₁B．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：過(guò)點(diǎn)M作ME⊥BB₁，垂足為E，連接NE，由題意得Rt△BME∽R(shí)t△BA₁B₁，Rt△B₁NE∽R(shí)t△B₁D₁B，從而NE∥D₁B，進(jìn)而ME∥AB，由此能證明MN∥平面AC₁B．

解答： 證明：過(guò)點(diǎn)M作ME⊥BB₁，垂足為E，連接NE，
則由題意得Rt△BME∽R(shí)t△BA₁B₁，
∵BM=2MA₁，∴BE=2MA₁，
∵D₁N=2NB₁，∴Rt△B₁NE∽R(shí)t△B₁D₁B，
∴NE∥D₁B，
∵M(jìn)E⊥BB₁，AB⊥BB₁，∴ME∥AB，
∵NE∩ME=E，D₁B∩AB₁=B，且NE∥D₁B、ME∥AB，
∴面MNE∥面ABC₁D₁，面ABC₁?面ABC₁D₁中，
即面MNE∥平面AC₁B，
∴MN∥平面AC₁B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．