Question

如圖，半圓O的直徑為2，A為直徑延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，OA=2，B為半圓上任意一點(diǎn)，以AB為一邊作等邊三角形ABC．
問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)B在什么位置時(shí)，四邊形OACB的面積最大？

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線的判定定理的證明

專題：立體幾何

分析：在△AOB中，由已知OA=2，OB=1，設(shè)∠AOB=α，則可應(yīng)用余弦定理將AB的長(zhǎng)用α的三角函數(shù)表示出來(lái)，進(jìn)而四邊形OACB面積S=S_△AOB+S_△AB表示成為α的三角函數(shù)，再注意α∈（0，π），將三角函數(shù)化簡(jiǎn)成為y=Asin（ωx+φ）+B的形式，就可求得使四邊形OACB面積最大的角α的值，從而就可確定點(diǎn)B的位置．

解答： 解：設(shè)∠AOB=α，（1分）
在△AOB中，由余弦定理得
AB²=OA²+OB²-2×OA×OBcos∠AOB
=1²+2²-2×1×2×cosα
=5-4cosα，．（4分）
于是，四邊形OACB的面積為
S=S_△AOB+S_△ABC=

1

2

OA•OBsinα+

3

4

AB² （6分）
=

1

2

×2×1×sinα+

3

4

（5-4cosα）
=sinα-

3

cosα+

5 3

4

=2sin（x-

π

3

）+

5 3

4

．（10分）
因?yàn)?＜α＜π，所以當(dāng)α-

π

3

=

π

2

，α=

5π

6

，
即∠AOB=

5π

6

時(shí)，四邊形OACB面積最大．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查四邊形面積最大時(shí)點(diǎn)的位置的確定，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．