Question

已知函數(shù)f（x）=ax³-3x²+1-

3

a

（a≠0）
（Ⅰ）若f（x）的圖象在x=-1處的切線與直線y=-

1

3

x+1垂直，求實(shí)數(shù)a的取值；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若a=1時(shí)，過點(diǎn)M（2，m）（m≠-6），可作曲線y=f（x）的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)直線垂直關(guān)系即可得到結(jié)論．
（Ⅱ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，即可求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的 幾何意義以建立條件關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=3ax2-6x=3ax(x-

2

a

)，f'（-1）=3a+6=3，得a=-1．
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，

2

a

＞0，
由f′（x）＞0解得x＜0，或x＞

2

a

，
由f′（x）＜0解得0＜x＜

2

a

，
所以f（x）在區(qū)間（-∞，0），（

2

a

，+∞）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（0，

2

a

）上單調(diào)遞減．
當(dāng)a＜0時(shí)，

2

a

＜0，
由f′（x）＞0解得

2

a

＜x＜0
由f′（x）＜0解得x＜

2

a

，或x＞0．
所以f（x）在區(qū)間(

2

a

，0)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(-∞，

2

a

)，（0，+∞）上單調(diào)遞減．
（Ⅲ）∵點(diǎn)M（2，m）（m≠-6）不在曲線y=f（x）上，
∴設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀）．則y₀=x₀³-3x₀²-2．
∵f'（x₀）=3x₀²-6x₀，∴切線的斜率為3x₀²-6x₀．
則3x₀²-6x₀=

x03-3x02-2-m

x0-2

，即2x₀³-9x₀²+12x₀+2+m=0．
因?yàn)檫^點(diǎn)M（2，m）（m≠-6），可作曲線y=f（x）的三條切線，
所以方程2x₀³-9x₀²+12x₀+2+m=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解．
即函數(shù)g（x）=2x³-9x²+12x+2+m有三個(gè)不同的零點(diǎn)．
則g'（x）=6x²-18x+12=6（x²-3x+2）=6（x-2）（x-1）．
令g'（x）=0，解得 x=1或x=2．

x	（-∞，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴

g(1)＞0 g(2)＜0

即

7+m＞0 6+m＜0

解得-7＜m＜-6．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，要求熟練掌握導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．