【題目】如圖，在四棱錐中，平面，正方形邊長(zhǎng)為2，是的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求證：直線與平面所成角的正弦值為，求的長(zhǎng)度；

（3）若，線段上是否存在一點(diǎn)，使平面，若存在求的長(zhǎng)度，若不存在則說明.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析，2或4；（3）存在，

【解析】

（1）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出，平面法向量，利用，即可證出.

（2）求出平面法向量，，由，利用空間向量的數(shù)量積即可求解.

（3）假設(shè)存在，設(shè)，由（1）平面法向量，，由向量共線可得，解方程即可求解.

（1）由平面，平面，所以，

因?yàn)?/span>為正方形，所以，

又，

所以平面.

如圖以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系

，，，，

，

設(shè)平面法向量為

，

令，

，平面，平面

（2）設(shè)平面法向量為，

，，

，令，，

，設(shè)直線與平面所成角為

解得或4，所以長(zhǎng)為或4

（3）存在，，，，，

，，，

解得，.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和Sn滿足4Sn＝an2+2an，n∈N*.設(shè)bn＝（﹣1）nanan+1，Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，則T2n＝_____.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：（）的焦距為4，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，T為直線上任意一點(diǎn)，過F作TF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P，Q.

（i）證明：OT平分線段PQ（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；

（ii）當(dāng)最小時(shí)，求點(diǎn)T的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).

（1）求的取值范圍.

（2）求的極大值與極小值之和的取值范圍.

（3）若，則是否有最小值？若有，求出最小值；若沒有，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知為拋物線上的一點(diǎn)，，為拋物線上異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，且直線的斜率與直線的斜率互為相反數(shù).

（1）求直線的斜率；

（2）設(shè)直線過點(diǎn)并交拋物線于，兩點(diǎn)，且，直線與軸交于點(diǎn)，試探究與的夾角是否為定值，若是則求出定值，若不是，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】正四棱錐P﹣ABCD的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為2,過點(diǎn)A作一個(gè)與側(cè)棱PC垂直的平面α,則平面α被此正四棱錐所截的截面面積為_____,平面α將此正四棱錐分成的兩部分體積的比值為_____.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（，0），（，0），動(dòng)點(diǎn)M（x，y）滿足直線AM和BM的斜率之積為﹣3，記M的軌跡為曲線E．

（1）求曲線E的方程；

（2）直線y＝kx+m與曲線E相交于P，Q兩點(diǎn)，若曲線E上存在點(diǎn)R，使得四邊形OPRQ為平行四邊形（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2020年是我國垃圾分類逐步凸顯效果關(guān)鍵的一年.在國家高度重視，重拳出擊的前提下，高強(qiáng)度、高頻率的宣傳教育能有效縮短我國生活垃圾分類走入世界前列所需的時(shí)間，打好垃圾分類這場(chǎng)“持久戰(zhàn)”，“全民戰(zhàn)”.某市做了一項(xiàng)調(diào)查，在一所城市中學(xué)和一所縣城中學(xué)隨機(jī)各抽取15名學(xué)生，對(duì)垃圾分類知識(shí)進(jìn)行問答，滿分為100分，他們所得成績(jī)?nèi)缦拢?/span>

城市中學(xué)學(xué)生成績(jī)分別為：73 71 83 86 92 70 88 93 73 97 87 88 74 86 85

縣城中學(xué)學(xué)生成績(jī)分別為：60 64 71 91 60 76 72 85 81 72 62 74 73 63 72

（1）根據(jù)上述兩組數(shù)據(jù)在圖中完成兩所中學(xué)學(xué)生成績(jī)的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩所中學(xué)學(xué)生成績(jī)的平均分及分散程度；（不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可）

（2）從城市中學(xué)成績(jī)?cè)?/span>80分以上的學(xué)生中抽取4名，記這4名學(xué)生的成績(jī)?cè)?/span>90分以上的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】今年，新型冠狀病毒來勢(shì)兇猛，老百姓一時(shí)間“談毒色變”，近來，有關(guān)喝白酒可以預(yù)防病毒的說法一直在民間流傳，更有人拿出“醫(yī)”字的繁體字“醫(yī)”進(jìn)行解讀為：醫(yī)治瘟疫要喝酒，為了調(diào)查喝白酒是否有助于預(yù)防病毒，我們調(diào)查了1000人的喝酒生活習(xí)慣與最終是否得病進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，表格如下：

每周喝酒量（兩）

人數(shù)

100

300

450

100

規(guī)定：①每周喝酒量達(dá)到4兩的叫常喝酒人，反之叫不常喝酒人；

②每周喝酒量達(dá)到8兩的叫有酒癮的人.

（1）求值，從每周喝酒量達(dá)到6兩的人中按照分層抽樣選出6人，再從這6人中選出2人，求這2人中無有酒癮的人的概率；

（2）請(qǐng)通過上述表格中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，填寫完下面的列聯(lián)表，并通過計(jì)算判斷是否能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為是否得病與是否常喝酒有關(guān)？并對(duì)民間流傳的說法做出你的判斷.

常喝酒

不常喝酒

合計(jì)

得病

不得病

250

650

合計(jì)

參考公式：，其中

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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