Question

17．已知點(diǎn)P在曲線y=$\frac{1}{{e}^{x}+1}$（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上運(yùn)動(dòng)，則曲線在點(diǎn)P處的切線斜率最小時(shí)的切線方程為y=-$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)出切點(diǎn)P（m，n），求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，運(yùn)用基本不等式可得斜率的最小值和切點(diǎn)，由斜截式方程即可得到所求切線的方程．

解答 解：設(shè)P（m，n），y=$\frac{1}{{e}^{x}+1}$的導(dǎo)數(shù)為y′=-$\frac{{e}^{x}}{（{e}^{x}+1）^{2}}$，
可得曲線在點(diǎn)P處的切線斜率為k=-$\frac{{e}^{m}}{（{e}^{m}+1）^{2}}$=-$\frac{1}{{e}^{m}+{e}^{-m}+2}$，
由e^m+e^-m≥2$\sqrt{{e}^{m}•{e}^{-m}}$=2，當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)等號(hào)取得．
即有切線的斜率的最小值為-$\frac{1}{4}$，此時(shí)切點(diǎn)為（0，$\frac{1}{2}$），
可得切線的方程為y=-$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{2}$．
故答案為：y=-$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同時(shí)考查基本不等式的運(yùn)用，正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．