Question

13．已知函數(shù)f（x）=log₂（|2x-1|+|x+2|-a）
（1）當(dāng)a=4時(shí)，求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若對(duì)任意的x∈R，都有f（x）≥2成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）用零點(diǎn)分段法解含絕對(duì)值的不等式；
（2）用分離參數(shù)法，構(gòu)造函數(shù)法求參數(shù)的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=4時(shí)，要使函數(shù)式有意義，則
|2x-1|+|x+2|＞4，分類(lèi)討論如下：
①當(dāng)x≥$\frac{1}{2}$時(shí)，2x-1+x+2＞4，解得x＞1；
②當(dāng)-2≤x＜-$\frac{1}{2}$時(shí)，1-2x+x+2＞4，解得-2≤x＜-1；
③當(dāng)x＜-2時(shí)，1-2x-x-2＞4，解得x＜-2，
綜合以上討論得，x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）；
（2）∵f（x）≥2恒成立，
∴|2x-1|+|x+2|-a＞4恒成立，
分離參數(shù)a得，a＜|2x-1|+|x+2|-4，
所以，a≤[|2x-1|+|x+2|-4]_min，
記g（x）=|2x-1|+|x+2|-4，
分析可知，當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，g（x）_min=-$\frac{3}{2}$，
所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-$\frac{3}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)值域的解法，充分體現(xiàn)了函數(shù)思想，分類(lèi)討論思想，屬于中檔題．