Question

8．如圖，設正棱錐S-ABC的體積為6，E，F(xiàn)和G分別是SA、AB和BC的中點，已知二面角E-FG-A的平面角為60°，求SA．

Answer 1

分析 設0點為定點S在底面ABC內(nèi)的射影，由S-ABC是正三棱錐，構(gòu)造出二面角的平面角，再根據(jù)體積公式，即可求出答案．

解答 解：設0點為定點S在底面ABC內(nèi)的射影，由S-ABC是正三棱錐，
所以0為△ABC的中心，A，O，G在一條直線上，且E在底面上的射影H也在AG上，
設M是AC的中心，由于AB=BC，SA=SC，從而AC⊥BM，AC⊥SM，
所以AC⊥SB，
又EF∥AB，F(xiàn)G∥AC，于是得EF⊥FG，
再由FG⊥EH，可得FG⊥HF，
所以∠EFH是二面角E-FG-A的平面角，
所以∠EFH=60°，
記為a，SA=m，則AO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，SO=$\sqrt{{m}^{2}-\frac{1}{3}{a}^{2}}$，
EH=$\frac{1}{2}$SO=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{m}^{2}-\frac{1}{3}{a}^{2}}$，EF=$\frac{1}{2}$SB=$\frac{1}{2}$SA=$\frac{1}{2}$m，
由此得sinα=$\frac{EH}{EF}$=$\frac{\sqrt{{m}^{2}-\frac{1}{3}{a}^{2}}}{m}$，即a=$\sqrt{3}$mcosα，
三棱錐的體積V=$\frac{1}{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²$\sqrt{{m}^{2}-\frac{1}{3}{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$m³cos²αsinα，
所以m=$\root{3}{\frac{4\sqrt{3}v}{3sinαco{s}^{2}α}}$，
由V=6，α=60°，從而m=sa=4．

點評 本題考查了二面角的平面的求法，以及三棱錐的體積公式，培養(yǎng)了學生的轉(zhuǎn)化能力，推理能力，屬于難題．