【題目】已知橢圓C：（）的焦距為4，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，T為直線上任意一點(diǎn)，過(guò)F作TF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P，Q.

（i）證明：OT平分線段PQ（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；

（ii）當(dāng)最小時(shí)，求點(diǎn)T的坐標(biāo).

【答案】(1)；（2）證明見解析，

【解析】

（1）由題意，又，由此可求出的值，從而求得橢圓的方程.（2）橢圓方程化為.設(shè)PQ的方程為，代入橢圓方程得：.（ⅰ）設(shè)PQ的中點(diǎn)為，求出，只要，即證得OT平分線段PQ.（ⅱ）可用表示出PQ，TF可得：化簡(jiǎn)得：.再根據(jù)取等號(hào)的條件，可得T的坐標(biāo).

（1），又.

（2）橢圓方程化為.

（ⅰ）設(shè)PQ的方程為，代入橢圓方程得：.

設(shè)PQ的中點(diǎn)為，則

又TF的方程為，則得，

所以，即OT過(guò)PQ的中點(diǎn)，即OT平分線段PQ.

（ⅱ），又，所以

.

當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)T的坐標(biāo)為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；

（2）若射線與曲線C交于點(diǎn)A（不同于極點(diǎn)O），與直線l交于點(diǎn)B，求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)器是否需要照顧相互之間沒有影響．已知在某1 h內(nèi)，甲、乙都需要照顧的概率為0.05，甲、丙都需要照顧的概率為0.1，乙、丙都需要照顧的概率為0.125．

（1）求甲、乙、丙每臺(tái)機(jī)器在這1 h內(nèi)需要照顧的概率分別是多少？

（2）計(jì)算這1 h內(nèi)至少有一臺(tái)機(jī)器需要照顧的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè){an}是一個(gè)首項(xiàng)為2，公比為q（q1）的等比數(shù)列，且3a1，2a2，a3成等差數(shù)列.

（1）求{an}的通項(xiàng)公式；

（2）已知數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，b1=1，且1（n≥2），求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Tn.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】用數(shù)學(xué)歸納法證明：

（1）；

（2）；

（3）設(shè)，證明：；

（4）是13的倍數(shù)；

（5），證明能被整除.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（，）的周期為，圖像的一個(gè)對(duì)稱中心為，將函數(shù)圖像上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），在將所得圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖像．

（1）求函數(shù)與的解析式；

（2）是否存在，使得，，按照某種順序成等差數(shù)列？若存在，請(qǐng)確定的個(gè)數(shù)；若不存在，說(shuō)明理由．

（3）求實(shí)數(shù)a與正整數(shù)n，使得在內(nèi)恰有2013個(gè)零點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】四位同學(xué)參加三項(xiàng)不同的競(jìng)賽.

（1）每位同學(xué)必須參加一項(xiàng)，有幾種不同結(jié)果？

（2）每項(xiàng)競(jìng)賽只有且必須有一位同學(xué)參加，有幾種不同結(jié)果？

（3）每位同學(xué)最多參加一項(xiàng)，且每項(xiàng)競(jìng)賽只許有一位同學(xué)參加，有幾種不同結(jié)果？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱，BC=2. 若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c為常數(shù)，則四面體ABCD的體積的最大值是 .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某校舉行了全體學(xué)生的一分鐘跳繩比賽，為了了解學(xué)生的體質(zhì)，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，其跳繩個(gè)數(shù)的頻數(shù)分布表如下：

一分鐘跳繩個(gè)數(shù)

頻數(shù)

6

12

18

30

16

10

8

（1）若將抽取的100名學(xué)生一分鐘跳繩個(gè)數(shù)作為一個(gè)樣本，請(qǐng)將這100名學(xué)生一分鐘跳繩個(gè)數(shù)的頻率分布直方圖補(bǔ)充完整（只畫圖，不需要寫出計(jì)算過(guò)程）；

（2）若該校共有3000名學(xué)生，所有學(xué)生的一分鐘跳繩個(gè)數(shù)X近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）.利用所得正態(tài)分布模型，解決以下問題：

①估計(jì)該校一分鐘跳繩個(gè)數(shù)超過(guò)165個(gè)的人數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）；

②若在該校所有學(xué)生中任意抽取4人，設(shè)一分鐘跳繩個(gè)數(shù)超過(guò)180個(gè)的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列、期望與方差./span>

附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布，則，，.

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