【題目】已知函數(shù))的周期為,圖像的一個(gè)對(duì)稱中心為,將函數(shù)圖像上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),在將所得圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖像.

1)求函數(shù)的解析式;

2)是否存在,使得,按照某種順序成等差數(shù)列?若存在,請(qǐng)確定的個(gè)數(shù);若不存在,說明理由.

3)求實(shí)數(shù)a與正整數(shù)n,使得內(nèi)恰有2013個(gè)零點(diǎn).

【答案】1,;(2)存在唯一的3

【解析】

(1)根據(jù)已知的周期可以得到,再根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱中心建立一個(gè)方程求得

(2)根據(jù)等差數(shù)列的條件,將問題轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的取值范圍問題,采用求導(dǎo)方法確定最值,從而判斷是否存在滿足條件的及存在的個(gè)數(shù).

(3)由于是關(guān)于,的函數(shù),所以它也是一個(gè)周期函數(shù),所以可以考慮在一個(gè)周期內(nèi)的取值情況,這個(gè)問題采用換元法簡(jiǎn)化計(jì)算,令,從而將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次函數(shù),求解在一個(gè)范圍內(nèi)的的取值范圍,然后判斷存在的零點(diǎn)個(gè)數(shù),最后根據(jù)的周期性可得在整個(gè)區(qū)間范圍內(nèi)存在的總零點(diǎn)個(gè)數(shù).

1)函數(shù))的周期為,可得,

又由該圖像的一個(gè)對(duì)稱中心為,故,得,所以,

,將函數(shù)圖像上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)后,得到的圖像,再將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù),故函數(shù);

2)當(dāng)時(shí),,,所以,問題轉(zhuǎn)化為方程內(nèi)是否有解,即內(nèi)是否有解,記,因?yàn)?/span>上大于0,所以,遞增,又因?yàn)?/span>,且函數(shù)的圖像連續(xù)不斷,所以存在唯一的滿足題意;

3)令,現(xiàn)討論函數(shù)上零點(diǎn)的情況,設(shè),,則函數(shù)的圖像是開口向下的拋物線,又,,.

當(dāng)時(shí),函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)(另一個(gè)零點(diǎn),舍去),上有兩個(gè)零點(diǎn),,且

當(dāng)時(shí),函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)(另一個(gè)零點(diǎn),舍去),上有兩個(gè)零點(diǎn),,且;

當(dāng)時(shí),函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn),另一個(gè)零點(diǎn),內(nèi)分別有兩個(gè)零點(diǎn)

由正弦函數(shù)的周期性可知,當(dāng)時(shí),函數(shù)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)總為偶數(shù),從而不存在正整數(shù)滿足題意.

當(dāng)時(shí),函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn),另一個(gè)零點(diǎn);

當(dāng)時(shí),函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn),另一個(gè)零點(diǎn);

從而當(dāng)時(shí),函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),根據(jù)正弦函數(shù)的周期性,,所以,依題意得,

綜上,當(dāng)時(shí),時(shí),時(shí),函數(shù)內(nèi)恰有2013個(gè)零點(diǎn)

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