Question

12．定義min{a，b}=$\left\{\begin{array}{l}a，a≤b\\ b，a＞b\end{array}$，若f（x）=min{$\sqrt{x}$，|${\frac{1}{2}$x-1}|}，且直線y=m與y=f（x）的圖象有3個交點，橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，x₃，則x₁•x₂•x₃的最大值為1．

Answer 1

分析 作出函數(shù)f（x）的圖象，由圖象可求得符合條件的m的取值范圍，設(shè)0＜x₁＜x₂＜2＜x₃，通過解方程可用m把x₁，x₂，x₃分別表示出來，然后利用基本不等式即可求得x₁•x₂•x₃的最大值．

解答 解：作出函數(shù)f（x）的圖象如圖所示：
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{x}}\\{y=-\frac{1}{2}x+1}\end{array}\right.$可解得A（4-2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$-2），
由圖象可得，當(dāng)直線y=m與f（x）圖象有三個交點時m的范圍為：0＜m＜2$\sqrt{3}$-2．
不妨設(shè)0＜x₁＜x₂＜2＜x₃，
則由2$\sqrt{{x}_{1}}$=m得x₁=$\frac{{m}^{2}}{4}$，由|x₂-2|=2-x₂=m，
得x₂=2-m，由|x₃-2|=x₃-2=m，
得x₃=m+2，且2-m＞0，m+2＞0，
∴x₁•x₂•x₃=$\frac{{m}^{2}}{4}$•（2-m）•（2+m）=$\frac{1}{4}$•m²•（4-m²）≤$\frac{1}{4}$•$（\frac{{m}^{2}+4-{m}^{2}}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}×4$=1，
當(dāng)且僅當(dāng)m²=4-m²．即m=$\sqrt{2}$時取得等號，
∴x₁•x₂•x₃存在最大值為1．
故答案為：1．

點評 本題考查函數(shù)與方程的綜合運用，考查基本不等式在求函數(shù)最值中的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬難題．