已知如圖，平行四邊形中，，，，正方形所在平面與平面垂直，分別是的中點(diǎn)。

⑴求證：平面；
⑵求平面與平面所成的二面角的正弦值。
（1）詳見解析；（2）.

試題分析：（1）證明線面平行，一般可考慮線面平行的判定定理，構(gòu)造面外線平行于面內(nèi)線，其手段一般是構(gòu)造平行四邊形，或構(gòu)造三角形中位線(特別是有中點(diǎn)時(shí))，由此本題即要證明的中點(diǎn)也是的中點(diǎn)，于是只要證明四邊形是平行四邊形，此較為容易；（2）求二面角一般分為三個(gè)步驟：作出二面角的平面角，證明此角是二面角的平面角，利用解三角形知識(shí)求出二面角的三角函數(shù)值，也可建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量的夾角，根進(jìn)一步判斷二面角的大小.
試題解析：⑴證明;，,且,
四邊形是平行四邊形，為的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)
,平面平面,
平面                       4分
⑵（解法1）過點(diǎn)作于，易知為中點(diǎn)，連結(jié).
易知，平面，,
是平面與平面所成的二面角的平面角.      8分
,
,
即平面與平面所成的二面角的正弦值為.          12分
（解法2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,    6分
,
設(shè)平面的法向量由，得，
令，又平面的法向量為,      9分
設(shè)平面與平面所成的二面角為，則，

即平面與平面所成的二面角的正弦值為.          12分
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在直三棱柱中，，，為的中點(diǎn).

（1）求證：∥平面；
（2）求證：平面；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD=60°，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，PO為四棱錐P﹣ABCD的高，且，E、F分別是BC、AP的中點(diǎn)．

（1）求證：EF∥平面PCD；
（2）求三棱錐F﹣PCD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，AC是圓O的直徑，點(diǎn)B在圓O上，，交AC于點(diǎn)M，EA⊥平面ABC，F(xiàn)C∥EA，AC=4，EA=3，F(xiàn)C=1,

（1）證明；
（2）（文科）求三棱錐的體積
（理科）求平面和平面所成的銳二面角的正切值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，，,平面底面，為中點(diǎn)，M是棱PC上的點(diǎn)，．

（1）若點(diǎn)M是棱PC的中點(diǎn)，求證：平面；
（2）求證：平面底面；
（3）若二面角M-BQ-C為，設(shè)PM=tMC，試確定t的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

(14分)如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)是的中點(diǎn).
（Ⅰ）求證:；
（Ⅱ）求證:平面；
（Ⅲ）求異面直線與所成角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

設(shè)為直線，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（    ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

對(duì)于空間的兩條直線，和一個(gè)平面，下列命題中的真命題是（ ）
A．若，，則B．若 ，，則
C．若，，則D．若， ，則

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

直三棱柱中，，，、分別為、的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求四面體的體積．

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