試題分析:(1)要證明直線和直線垂直,只需證明線和面垂直,由
,∴
面
,從而
,在梯形
中,證明
,從而
面
,∴
;(2)(文科)求三棱錐的體積,關鍵是確定三棱錐的高,往往需要等體積轉(zhuǎn)化,
,可得;(2)理科,題中未給出兩個半平面的交線,首先確定交線,延長
交
于
,連結
,然后先找二面角的平面角,再計算,過
做
,垂足
,連接
,證明
面
,則
,
就是所求二面角的平面角,計算即得結果.
試題解析:⑴∵EA⊥面ABC,BM
面ABC,∴EA⊥MB,∴MB⊥AC,AC∩EA=A,∴MB⊥面ACEF,
∵EM
面ACEF,∴EM⊥MB,在直角梯形ACEF中,EA=3,FC=1,AC=4,∴EF=
,在Rt△ABC中, ∵
∠BAC=30°,BM⊥AC,∴AM=3,CM=1,∴EM=
,MF=
,∵EF
2=EM
2+MF
2,∴EM⊥MF,
又MB∩MF=M,∴EM⊥面MBF, ∵BF
面MBF,∴EM⊥BF 8分
⑵(文科) 由(1)知, MB⊥面ACFE ∴
,在直角梯形ACEF中,
,
,∴
14分
(理科)延長EF交AC于H,連結BH,過C做CG⊥BH,垂足G,FC∥EA,EA⊥面ABC,
∴FC⊥面ABC,∵BH
面ABC,∴BH⊥FC,∵FC∩CG=C,∴BH⊥面FCG,∵FG
面FCG,∴BH⊥FG,∴∠CGF為平面BEF與平面ABC所成的二面角的平面角,在直角梯形ACEF中,CH=2,,在△BCH中,CH=2,BC=2,∠BCH=
,∴CG=1,在Rt△CGF中,FC=1,
∴∠CGF=
,平面BEF與平面ABC所成的銳二面角正切值為1 14分