Question

4．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=$\frac{4}{3}$（a_n-1），則滿足不等式a_n＞2ⁿ⁺¹⁶的最小正整數(shù)n的值為（　　）

• A． 12
• B． 14
• C． 16
• D． 17

Answer 1

分析 利用遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n，再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵S_n=$\frac{4}{3}$（a_n-1），∴當(dāng)n=1時，${a}_{1}=\frac{4}{3}（{a}_{1}-1）$，解得a₁=4．
當(dāng)n≥2時，S_n-1=$\frac{4}{3}（{a}_{n-1}-1）$，可得a_n=$\frac{4}{3}（{a}_{n}-{a}_{n-1}）$，化為：a_n=4a_n-1．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為4，公比為4．
∴a_n=4ⁿ．
不等式a_n＞2ⁿ⁺¹⁶化為：2²ⁿ＞2ⁿ⁺¹⁶，∴2n＞n+16，解得n＞16．
∴滿足不等式a_n＞2ⁿ⁺¹⁶的最小正整數(shù)n的值為17．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．