Question

1．已知拋物線y²=4x與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞0，b＞0）$的一條漸近線交于點M（M異于原點），且點M到拋物線焦點的距離等于3，則雙曲線的離心率是（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由題設(shè)條件，利用拋物線的定義，確定M的坐標(biāo)，再由雙曲線的漸近線方程能求出$\frac{a}$=$\sqrt{2}$，從而能求出雙曲線的離心率．

解答 解：由題設(shè)知，拋物線y²=4x的準線方程x=-1，
∵點M到拋物線焦點的距離為3，
∴M到拋物線的準線的距離為3，
∴M的橫坐標(biāo)為2，
代入拋物線方程，解得y=±2$\sqrt{2}$，
∴M（2，$±2\sqrt{2}$），
∵拋物線y²=4x與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞0，b＞0）$的一條漸近線交于點M（M異于原點），
∴$\frac{a}$=$\sqrt{2}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+2}$=$\sqrt{3}$．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，是中檔題，涉及到拋物線、雙曲線、漸近線等知識點．