Question

5．某校高二上期月考語文試題的連線題如下：
將中國(guó)四大名著與它們的作者連線，每本名著只能與一名作者連線，每名作者也只能與一本名著連
線．其得分標(biāo)準(zhǔn)是：每連對(duì)一個(gè)得3分，連錯(cuò)得-1分．

一名考生由于考前沒復(fù)習(xí)本知識(shí)點(diǎn)，所以對(duì)此考點(diǎn)一無所知，考試時(shí)只得隨意連線，現(xiàn)將該考生的
得分記作ξ．
（Ⅰ）求這名考生所有連線方法總數(shù)；
（Ⅱ）求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）所有連線方法總數(shù)為四個(gè)元素在四個(gè)位置的全排列；
（Ⅱ）ξ=-4，0，4，12，求出相應(yīng)的概率，即可求得ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ） 所有連線方法總數(shù)為四個(gè)元素在四個(gè)位置的全排列，所以連線方法總數(shù)是$A_4^4=24$種．
（Ⅱ） ξ的可能取值為-4，0，4，12，
P（ξ=12）=$\frac{1}{A_4^4}=\frac{1}{24}$，
P（ξ=4）=$\frac{C_4^2}{A_4^4}=\frac{1}{4}$，
P（ξ=0）=$\frac{C_4^1×2}{A_4^4}=\frac{1}{3}$，
P（ξ=-4）=$\frac{3×3}{A_4^4}=\frac{9}{24}$，
ξ的分布列為：

ξ	-4	0	4	12
P	$\frac{9}{24}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{24}$

數(shù)學(xué)期望$Eξ=-4×\frac{9}{24}+4×\frac{1}{4}+12×\frac{1}{24}=0$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求解，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，解題的關(guān)鍵是正確理解事件，求概率，確定變量的取值，屬于中檔題