Question

6．若二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）滿足f（-1）=0，且對任意實數(shù)x，均有x-1≤f（x）≤x²-3x+3恒成立．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若關于x的不等式f（x）≤nx-1的解集非空，求實數(shù)n的取值集合A．

Answer 1

分析 （1）使用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，關鍵是根據(jù)已知條件構(gòu)造方程組．
（2）當f（x）的二次系數(shù)a＞0時，f（x）≤0的解集非空?△≥0．

解答 解：（1）由x-1=x²-3x+3可得x=2，
故由題可知1≤f（2）≤1，
從而f（2）=1．
因此$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{4a+2b+c=1}\end{array}\right.$，
故b=$\frac{1}{3}$-a，c=$\frac{1}{3}$-2a．由x-1≤f（x）
得ax²-（$\frac{2}{3}$+a）x+$\frac{4}{3}$-2a≥0對x∈R恒成立，
故△=（$\frac{2}{3}$+a）²-4a（$\frac{4}{3}$-2a）≤0，
即9a²-4a+$\frac{4}{9}$≤0，
解得a=$\frac{2}{9}$，
故f（x）=2$\frac{2}{9}$x²+$\frac{1}{9}$x-$\frac{1}{9}$；
（2）由$\frac{2}{9}$x²+$\frac{1}{9}$x-$\frac{1}{9}$≤nx-1
得2x²+（1-9n）x+8≤0，
故△=（1-9n）²-64≥0，
解得n≤-$\frac{7}{9}$或n≥1，從而A=（-∞，-$\frac{7}{9}$]∪[1，+∞）．

點評 解一元二次不等式ax²+bx+c＞0 或ax²+bx+c＜0，反映在數(shù)量關系上就是考查二次方程ax²+bx+c=0的根，反映在圖形上就是考查二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸的關系．因此要熟練掌握“三個二次”之間的相互轉(zhuǎn)換，善于用轉(zhuǎn)化思想分析解決問題．