Question

如圖，⊙O內(nèi)切于△ABC的邊于D，E，F(xiàn)，AB=AC，連接AD交⊙O于點H，直線HF交BC的延長線于點G．
（1）求證：圓心O在直線AD上；
（2）若BC=2，求GC的長．

Answer 1

考點：與圓有關(guān)的比例線段

專題：立體幾何

分析：（I）由已知條件得CF=BE，CD=BD，由△ABC是等腰三角形，得AD是∠CAB的平分線，由此能證明圓心O在直線AD上．
（II）連接DF，由已知條件得∠FDH+FHD=90°，∠G=∠FDH，由此能求出GC的長．

解答： （I）證明：∵AB=AC，AF=AE
∴CF=BE…（2分）
又CF=CD，BD=BE，∴CD=BD…（4分）
又△ABC是等腰三角形
∴AD是∠CAB的平分線
∴圓心O在直線AD上…（6分）
（II）解：連接DF，由（I）知，DH是⊙O的直徑
∴∠DFH=90°，∴∠FDH+FHD=90°…（7分）
又∠G+∠FHD=90°，∴∠G=∠FDH…（8分）
∵⊙O與AC相切于點F，∴∠AFH=∠GFC=∠FDH
∴∠GFC=∠G…（10分）
∴CG=CF=CD=DB
由BC=2，得GC=1．…（12分）

點評：本題考查圓心在直線上的證明，考查線線段長的求法，解題時要認真審題，注意圓的簡單性質(zhì)的合理運用．