Question

12．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a₁=3且S_n=$\frac{1}{2}$a_n+1+1，則{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{4•{3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 當(dāng)n≥2時(shí)，作差可得a_n=$\frac{1}{2}$（a_n+1-a_n），從而可得a_n+1=3a_n；再討論求第1，2項(xiàng)，從而求得．

解答 解：當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=$\frac{1}{2}$a_n+1，S_n=$\frac{1}{2}$a_n+1+1，
作差可得，
a_n=$\frac{1}{2}$（a_n+1-a_n），
故a_n+1=3a_n；
當(dāng)n=1時(shí)，3=$\frac{1}{2}$a₂+1，
解得，a₂=4；
故數(shù)列{a_n}從第2項(xiàng)起成等比數(shù)列，
故a_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{4•{3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$，
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{4•{3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的性質(zhì)的判斷及分類討論的思想方法及作差法的應(yīng)用．