Question

試用數(shù)學(xué)歸納法證明

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

＞

1

2

-

1

n+2

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：證明題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)學(xué)歸納法，由數(shù)學(xué)歸納法的步驟，我們先判斷n=1時(shí)成立，然后假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，只要能證明出當(dāng)n=k+1時(shí)，立即可得到所有的正整數(shù)n都成立

解答： 證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=

1

4

，右邊=

1

6

，不等式成立
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，原式成立，即

1

22

+

1

32

+…+

1

(k+1)2

＞

1

2

-

1

k+2

，
當(dāng)n=k+1時(shí)，

1

22

+

1

32

+…+

1

(k+1)2

+

1

(k+2)2

＞

1

2

-

1

k+2

+

1

(k+2)2

∵-

1

k+2

+

1

(k+2)2

+

1

k+3

=

1

(k+2)2(k+3)

＞0，
∴-

1

k+2

+

1

(k+2)2

＞-

1

k+3

，
∴

1

2

-

1

k+2

+

1

(k+2)2

＞

1

2

-

1

k+3

，
即n=k+1時(shí)結(jié)論成立．
根據(jù)（1）和（2）可知不等式對(duì)任意正整數(shù)n都成立
∴

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

＞

1

2

-

1

n+2

．

點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)歸納法的步驟：①證明n=1時(shí)A式成立②然后假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，A式成立③證明當(dāng)n=k+1時(shí)，A式也成立④下緒論：A式對(duì)所有的正整數(shù)n都成立．