Question

（1）已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=（2n+1）•2^n-1，用反證法證明數(shù)列{a_n}中任何三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式n!≤（

n+1

2

）ⁿ，n∈N^*．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,反證法與放縮法

專題：證明題,反證法,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）假設(shè)存在a_r，a_s，a_t成等比數(shù)列，可得（2r+1）（2t+1）•2^r+t-2s=（2s+1）²．等式右邊為奇數(shù)，要使左邊等于右邊，則r+t-2s=0，從而可得出矛盾；
（2）直接利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟證明不等式，（1）驗(yàn)證n=2時(shí)不等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)成立，利用放縮法證明n=k+1時(shí)，不等式也成立．

解答： 證明：（1）用反證法證明
假設(shè)存在a_r，a_s，a_t成等比數(shù)列，
則[（2r+1）•2^r-1]•[（2t+1）•2^t-1]=（2s+1）²•2^2s-2．
整理得（2r+1）（2t+1）•2^r+t-2s=（2s+1）²．
等式右邊為奇數(shù)，要使左邊等于右邊，則r+t-2s=0．
所以，（2r+1）（2t+1）=（r+t+1）²，整理得（r-t）²=0，∴r=t．這與r≠t矛盾，
故不存在這樣的正整數(shù)r，s，t，使得a_r，a_s，a_t成等比數(shù)列．
（2）①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=1，∴n=1時(shí)成立
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，即k!≤(

k+1

2

)k，
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊（k+1）!≤(

k+1

2

)k•（k+1）=

(k+1)k+1

2k

．
∵

(k+1)k+1

2k

-(

k+2

2

)k+1=

2(k+1)k+1-[ C 0 k+1 (k+1)k+1+ C 1 k+1 (k+1)k+…+1]

2k+1

＜0，
∴（k+1）!≤(

k+2

2

)k+1，
∴n=k+1時(shí)，不等式成立，
綜上，不等式n!≤（

n+1

2

）ⁿ，n∈N^*成立．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，訓(xùn)練了反證法，考查邏輯推理能力．