Question

（本小題滿分12分）如圖，直角梯形與等腰直角三角形所在的平面互相垂直．∥，，，．

（1）求直線與平面所成角的正弦值；

（2）線段上是否存在點(diǎn)，使// 平面？若存在，求出；若不存在，說明理由．1

 

Answer 1

【答案】

（1）直線與平面所成角的正弦值為．

（3）點(diǎn)滿足時(shí)，有// 平面．

【解析】本試題主要是考查了空間幾何中點(diǎn)，線，面的位置關(guān)系的運(yùn)用。

（1）因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013051508503325323720/SYS201305150851161751387277_DA.files/image007.png">平面，且

所以BC⊥平面，則即為直線與平面所成的角

（1）假設(shè)存在點(diǎn)，且時(shí)，有// 平面，建立直角坐標(biāo)系來證明。

解：（1）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)，．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013051508503325323720/SYS201305150851161751387277_DA.files/image016.png">，所以．                           

因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013051508503325323720/SYS201305150851161751387277_DA.files/image008.png">為直角梯形，，，

所以四邊形為正方形，所以．  

所以平面．    所以 ．           4分

（2）解法1：因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013051508503325323720/SYS201305150851161751387277_DA.files/image007.png">平面，且

所以BC⊥平面

則即為直線與平面所成的角

設(shè)1C=a，則AB=2a，，所以

則直角三角形CBE中，

即直線與平面所成角的正弦值為．               8分

解法2：因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013051508503325323720/SYS201305150851161751387277_DA.files/image007.png">平面，且，

所以平面，所以．

由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

因?yàn)槿�角�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013051508503325323720/SYS201305150851161751387277_DA.files/image031.png">為等腰直角三角形，所以，設(shè)，

則．

所以，平面的一個(gè)法向量為．

設(shè)直線與平面所成的角為，

所以，           

即直線與平面所成角的正弦值為．       8分

（3）解：存在點(diǎn)，且時(shí)，有// 平面．       

證明如下：由，，所以．

設(shè)平面的法向量為，則有

所以  取，得．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013051508503325323720/SYS201305150851161751387277_DA.files/image048.png">，且平面，所以// 平面．

即點(diǎn)滿足時(shí)，有// 平面．               12分

考點(diǎn)：空間中線面角的求解，以及線面平行

點(diǎn)評：解決的關(guān)鍵是利用空間中的法向量來得到線面角的表示，以及平行的證明，屬于基礎(chǔ)題。