Question

17．若橢圓ax²+by²=1與直線x+y=1交于A，B兩點，M為AB的中點，直線OM（O為原點）的斜率為2，又OA⊥OB，求a，b的值．

Answer 1

分析 設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）．聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+b{y}^{2}=1}\\{x+y=1}\end{array}\right.$，得（a+b）x²-2bx+b-1=0．由韋達定理得M（$\frac{a+b}$，$\frac{a}{a+b}$）．由k_OM=2，得a=2b，由OA⊥OB，得a+b=2．由此能求出a，b．

解答 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+b{y}^{2}=1}\\{x+y=1}\end{array}\right.$，得（a+b）x²-2bx+b-1=0．
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{a+b}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=1-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{a}{a+b}$．
∴M（$\frac{a+b}$，$\frac{a}{a+b}$）．
∵k_OM=2，∴a=2b．①
∵OA⊥OB，∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=-1．
∴x₁x₂+y₁y₂=0．
∵x₁x₂=$\frac{b-1}{a+b}$，y₁y₂=（1-x₁）（1-x₂），
∴y₁y₂=1-（x₁+x₂）+x₁x₂
=1-$\frac{2b}{a+b}$+$\frac{b-1}{a+b}$=$\frac{a-1}{a+b}$．
∴$\frac{b-1}{a+b}+\frac{a-1}{a+b}$=0．
∴a+b=2．②
由①②得a=$\frac{4}{3}$，b=$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查實數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓、直線方程、直線垂直、韋達定理、中點坐標公式等知識點的靈活運用運用．