Question

已知f（x）=log₂x，當點M（x，y）在y=f（x）的圖象上運動時，點N（x-2，ny）函數(shù)y=g_n（x）的圖象上運動（n∈N^*）．
（1）求y=g_n（x）的表達式．
（2）若集合A={a|關(guān)于x的方程 4g₁（x）=g₂（x-2+a）有實根，a∈R}，求集合A
（3）設(shè)Hn(x)=(

1

2

)gn(x)，函數(shù)F（x）=H₁（x）-g₁（x）的定義域為0＜a≤x≤b，值域為[log2

5 2

b+2

，log2

4 2

a+2

]，求實數(shù)a，b的值．

Answer 1

（1）據(jù)題設(shè)，得點N（x-2，ny）函數(shù)y=g_n（x）的圖象上運動且y=log₂x，
得g_n（x-2）=nlog₂x（x＞0）∴g_n（x）=nlog₂（x+2）（x＞-2，n∈N^*）
（2）據(jù)題設(shè)，得：方程4log₂（x+2）=2log₂（x+a）有實根
即：（x+2）²=x+a（x＞-2）有實根∴a=x2+3x+4≥

7

4

∴A=[

7

4

，+∞)
（3）據(jù)題設(shè)，有F(x)=

1

x+2

-log2(x+2)（x＞-2），
∵

1

x+2

和-log₂（x+2）分別是（-2，+∞）上的減函數(shù)，
∴F（x）在（-2，+∞）上是減函數(shù)，
∴F（x）區(qū)間[a，b]上的值域為[F（b），F(xiàn)（a）]；

∴ F(a)=log2 4 2 a+2 F(b)=log2 5 2 b+2

∴a=2，b=3