Question

已知某四棱錐P-ABCD的三視圖如圖，E是側(cè)棱PC上的動點．
（Ⅰ）求四棱錐P-ABCD的體積；
（Ⅱ）點E在線段PC上任意移動，是否總有BD⊥AE？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)三視圖，可得四棱錐P-ABCD的底面為邊長等于1的正方形，側(cè)棱PC⊥平面ABCD，PC=2，由此利用錐體的體積公式，即可算出四棱錐P-ABCD的體積；
（II）由PC⊥平面ABCD證出BD⊥PC，結(jié)合正方形ABCD的對角線BD⊥AC，利用線面垂直判定定理證出BD⊥平面PAC，從而證出BD⊥AE．因此當(dāng)E在線段PC上任意移動時，總有BD⊥AE．

解答：解：（Ⅰ）由三視圖，可知四棱錐P-ABCD的底面是一個正方形
正方形的邊長這1，故S_ABCD=1              …（3分）
∴四棱錐P-ABCD的體積V=

1

3

S_ABCD•h=

1

3

×1×2=

2

3

cm³   …（7分）
（Ⅱ）結(jié)論：總有BD⊥AE                  …（8分）
證明：由三視圖，可知PC⊥平面ABCD
∵BD?平面ABCD，∴BD⊥PC               …（10分）
又∵在正方形中BD⊥AC                   …（12分）
且AC、PC是平面PAC內(nèi)的兩條相交直線
∴BD⊥平面PAC
∵AE?平面PAC，∴BD⊥AE             …（14分）

點評：本題給出四棱錐的三視圖，求它的體積并證明線線垂直．著重考查了三視圖的認(rèn)識、線面垂直的判定與性質(zhì)和錐體的體積求法等知識，屬于中檔題．