Question

6．已知S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，a₁=1，a₂=2，a₃=3，若數(shù)列{a_n+a_n+1+a_n+2}是以2為公比的等比數(shù)列，則S₂₆的值為（　　）

• A． $\frac{3（{2}^{27}-1）}{7}$
• B． $\frac{3（{2}^{27}-2）}{7}$
• C． $\frac{3（{2}^{26}-1）}{7}$
• D． $\frac{3（{2}^{26}-2）}{7}$

Answer 1

分析 設(shè)b_n=a_n+a_n+1+a_n+2，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的求和公式即可求出

解答 解：設(shè)b_n=a_n+a_n+1+a_n+2，
∵a₁=1，a₂=2，a₃=3，
∴b₁=a₁+a₂+a₃=1+2+3=6，
∵數(shù)列{a_n+a_n+1+a_n+2}是以2為公比的等比數(shù)列，
∴b_n=a_n+a_n+1+a_n+2=6×2^n-1=3×2ⁿ，
∴b₂=a₂+a₃+a₄=3×2²，
b₃=a₃+a₄+a₅=3×2³，
b₆=a₆+a₇+a₈=3×2⁶，
b₉=a₉+a₁₀+a₁₁=3×2⁹，
…，
b₂₄=a₂₄+a₂₅+a₂₆=3×2²⁴，
∴S₂₆=a₁+a₂+b₃+b₆+…+b₂₄=1+2+3×2³+3×2⁶+…+3×2²⁴=3+3（2³+2⁶+…+2²⁴）=3+3×$\frac{{2}^{3}（1-{2}^{24}）}{1-{2}^{3}}$=$\frac{3（{2}^{27}-1）}{7}$，
故選：A．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式和求和公式，考查了學(xué)生的運算能力，屬于中檔題