【題目】已知函數(shù), .

(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)求證:

(3)求證:當時, , 恒成立.

【答案】(1)當時,函數(shù)上單調(diào)遞增;當時,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.(2)見解析;(3)見解析.

【解析】試題分析:(1)求函數(shù)的導數(shù),討論,分當,,令導數(shù)大于0,得增區(qū)間,令導數(shù)小于0,得減區(qū)間;
(2),由(1)可知,函數(shù)的最小值為,不等式得證;

(3)構造函數(shù),證明其最小值大于等于0即可.

試題解析:(1),

(。┊時, ,函數(shù)上單調(diào)遞增;

(ⅱ)當時,令,則,

,即時,函數(shù)單調(diào)遞增;

,即時,函數(shù)單調(diào)遞減.

綜上,當時,函數(shù)上單調(diào)遞增;當時,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.

(2)證明:令,由(1)可知,函數(shù)的最小值為,∴,即.

(3)證明: 恒成立與恒成立等價,

,即,則

時, (或令,則上遞增,∴,∴上遞增,∴,∴

在區(qū)間上單調(diào)遞增,

恒成立.

點晴:本題主要考查函數(shù)單調(diào)性,不等式恒成立,及不等式的證明問題.要求單調(diào)性,求導比較導方程的根的大小,解不等式可得單調(diào)區(qū)間,要證明不等式恒成立問題可轉化為構造新函數(shù),求其值最值即可.這類問題的通解方法就是:劃歸與轉化之后,就可以假設相對應的函數(shù),然后利用導數(shù)研究這個函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值,圖像與性質(zhì),進而求解得結果.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】經(jīng)統(tǒng)計,某醫(yī)院一個結算窗口每天排隊結算的人數(shù)及相應的概率如下:

排除人數(shù)

0--5

6--10

11--15

16--20

21--25

25人以上

概率

0.1

0.15

0.25

0.25

0.2

0.05

(1)求每天超過20人排隊結算的概率;

(2)求2天中,恰有1天出現(xiàn)超過20人排隊結算的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】若函數(shù)定義域為,且對任意實數(shù),有,則稱為“形函數(shù)”,若函數(shù)定義域為,函數(shù)對任意恒成立,且對任意實數(shù),有,則稱為“對數(shù)形函數(shù)” .

(1)試判斷函數(shù)是否為“形函數(shù)”,并說明理由;

(2)若是“對數(shù)形函數(shù)”,求實數(shù)的取值范圍;

(3)若是“形函數(shù)”,且滿足對任意,有,問是否為“對數(shù)形函數(shù)”?證明你的結論.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】下表提供了某廠生產(chǎn)某產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量(噸)與相應的生產(chǎn)能耗(噸標準煤)的幾組對照數(shù)據(jù):

2

4

6

8

10

4

5

7

9

10

(1)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關于的線性回歸方程;

(2)根據(jù)(1)中求出的線性回歸方程,預測生產(chǎn)20噸該產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗是多少噸標準煤?

附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為: .

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】設函數(shù),其中

(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)若存在極值點,且,其中,求證: ;

(Ⅲ)設,函數(shù),求證: 在區(qū)間上最大值不小于.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在銳角三角形ABC中,a,b,c分別為角A,B,C所對的邊,且

(1)求角C的大。

(2)若 ,且三角形ABC的面積為,求的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】選修4—4:坐標系與參數(shù)方程.

已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以直角坐標系原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系.

1)求曲線的極坐標方程;

2)若直線的極坐標方程為,求直線被曲線截得的弦長.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖所示,摩天輪的半徑為米,點距地面高度為米,摩天輪做勻速運動,每分鐘轉一圈,以點為原點,過點且平行與地平線的直線為軸建立平面直角坐標系,設點的起始位置在最低點(且在最低點開始時),設在時刻(分鐘)時點距地面的高度(米),則的函數(shù)關系式

__________.在摩天輪旋轉一周內(nèi),點到地面的距離不小于米的時間長度為 __________(分鐘)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),且.

)求函數(shù)的解析式;

)若對任意,都有,求的取值范圍;

)證明函數(shù)的圖象在圖象的下方.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案