Question

平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到定點(diǎn)F（1，0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離大l．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡ABCD的方程；
（2）已知點(diǎn)A（3，2），求|PA|+|PF|的最小值及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由題意，動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到定點(diǎn)F（1，0）的距等于它到x=-1的距離，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)不在直線上時(shí)，由拋物線的定義知P的軌跡為拋物線，動(dòng)點(diǎn)在直線上時(shí)，其軌跡為y=0（x≤0），求出即可，．
（2）設(shè)點(diǎn)P在準(zhǔn)線上的射影為D，記拋物線y²=2x的焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線l是x=-1，由拋物線的定義可得|PF|=|PD|，當(dāng)D，P，M三點(diǎn)共線時(shí)PA+PD最小，即可得出．

解答： 解：（1）由題意，動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到定點(diǎn)F（1，0）的距等于它到x=-1的距離，
當(dāng)動(dòng)點(diǎn)不在直線上時(shí)，由拋物線的定義知P的軌跡為拋物線，設(shè)拋物線方程為：y²=2px（p＞0）．
則p=2，
∴所求的軌跡方程為y²=4x．
當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在直線上時(shí)，其軌跡為y=0（x≤0）．
（2）設(shè)點(diǎn)P在準(zhǔn)線上的射影為D，記拋物線y²=2x的焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線l是x=-1，
由拋物線的定義可得：|PF|=|PD|，
因此PA+PF=PA+PD≥AD=4，即當(dāng)D，P，M三點(diǎn)共線時(shí)PA+PD最小，
此時(shí)P（1，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．