Question

△ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若C=2A，cosA=

3

4

，

BA

•

BC

=

27

2

，
（1）求cosB；
（2）求邊AC的長．

Answer 1

考點：正弦定理,平面向量數量積的運算

專題：計算題,解三角形

分析：（1）由C=2A，得到cosC=cos2A，cos2A利用二倍角的余弦函數公式化簡，將cosA的值代入求出cosC的值，發(fā)現cosC的值大于0，由A和B為三角形的內角，得到A和B都為銳角，進而利用同角三角函數間的基本關系求出sinA和sinC的值，最后利用三角形的內角和定理及誘導公式化簡cosB，再利用兩角和與差的余弦函數公式化簡，將各自的值代入即可求出cosB的值；
（2）利用平面向量的數量積運算法則化簡已知的等式

BA

•

BC

=

27

2

，由cosB的值，求出ac的值，由a，c，sinA和sinC，利用正弦定理列出關系式，將C=2A代入并利用二倍角的正弦函數公式化簡，用c表示出a，代入ac=24中，求出c的值，進而得到a的值，最后由a，c及cosB的值，利用余弦定理即可求出b的值．

解答： 解：（1）∵C=2A，cosA=

3

4

，
∴cosC=cos2A=2cos²A-1=2×

9

16

-1=

1

8

＞0，
∵0＜A＜π，0＜C＜π，
∴0＜A＜

π

2

，0＜C＜

π

2

∴sinA=

1- 9 16

=

7

4

，sinC=

1- 1 64

=

3 7

8

，
∴cosB=cos[π-（A+C）]=-cos（A+C）
=-（cosAcosC-sinAsinC）=-（

3

4

×

1

8

-

7

4

×

3 7

8

）=

9

16

；
（2）∵

BA

•

BC

=

27

2

，
∴accosB=

27

2

，
∵cosB=

9

16

，
∴ac=24，
∵

a

sinA

=

c

sinC

=

c

sin2A

=

c

2sinAcosA

，
∴a=

c

2cosA

=

2

3

c，
由

a= 2 3 c ac=24

解得

a=4 c=6

，
∴b²=a²+c²-2accosB=4²+6²-2×24×

9

16

=25，
∴b=5，即AC=5．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦、余弦函數公式，同角三角函數間的基本關系，誘導公式，兩角和與差的正弦函數公式，以及平面向量的數量積運算法則，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．