Question

9．已知函數f（x）=lnx+a|x²-1|（a∈R）．
（1）當a=1時，求函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）當a＞0時，求函數f（x）在（0，$\sqrt{e}$）上的最大值g（a）．

Answer 1

分析 （1）得出當a=1時，f（x）=lnx+|x²-1|=$\left\{\begin{array}{l}{lnx+{x}^{2}-1，x≥1}\\{lnx+1-{x}^{2}，0＜x＜1}\end{array}\right.$分段求解導數判斷即可．
（2）去絕對值得出：當a＞0時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx+a{x}^{2}-a，x≥1}\\{lnx+a-a{x}^{2}，0＜x＜1}\end{array}\right.$，
利用導數分類討論得出：當0＜a$≤\frac{1}{2}$時，f（x）在（0，$\sqrt{e}$）上單調遞增，f（x）無最大值，
當a$＞\frac{1}{2}$時，f（x）在（0，$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$）上單調遞增，（$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$，1）單調遞減，在（1，$\sqrt{e}$）上單調遞增，
極大值為f（$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$），極小值為f（1）．
比較f（$\sqrt{e}$）＞f（$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$），即可判斷最值情況．

解答 解：∵f（x）=lnx+a|x²-1|（a∈R）．
∴（1）當a=1時，f（x）=lnx+|x²-1|=$\left\{\begin{array}{l}{lnx+{x}^{2}-1，x≥1}\\{lnx+1-{x}^{2}，0＜x＜1}\end{array}\right.$
∵當x≥1時，f′（x）=$\frac{1}{x}$+2x＞0，
∴函數f（x）在（1，+∞）上單調遞增，
∵當0＜x＜1時，f′（x）=$\frac{1}{x}$-2x=$\frac{1-2{x}^{2}}{x}$，
1-2x²＞0，0＜x$＜\frac{\sqrt{2}}{2}$
1-2x²＜0，x$＞\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴函數f（x）在（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）上單調遞增，在（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）上單調遞減，
（2）函數f（x）=lnx+a|x²-1|（a∈R）．
當a＞0時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx+a{x}^{2}-a，x≥1}\\{lnx+a-a{x}^{2}，0＜x＜1}\end{array}\right.$
①∵當x≥1時，f′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax＞0，
∴函數f（x）在（1，+∞）上單調遞增，
②∵當0＜x＜1時，f′（x）=$\frac{1}{x}$-2ax=$\frac{1-2a{x}^{2}}{x}$，
1-2ax²＞0，0＜x$＜\frac{\sqrt{2a}}{2a}$
1-2ax²＜0，x$＞\frac{\sqrt{2a}}{2a}$，
∴當0＜a$≤\frac{1}{2}$時，$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$≥1，f（x）在（0，1）上單調遞增，
當a$＞\frac{1}{2}$時，0＜$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$＜1，f（x）在（0，$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$）上單調遞增，（$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$，1）單調遞減，
綜上：當0＜a$≤\frac{1}{2}$時，f（x）在（0，$\sqrt{e}$）上單調遞增，f（x）無最大值，
當a$＞\frac{1}{2}$時，f（x）在（0，$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$）上單調遞增，（$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$，1）單調遞減，在（1，$\sqrt{e}$）上單調遞增，
極大值為f（$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$），極小值為f（1）．
f（$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$）=ln$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$+a|$\frac{1}{2a}$-1|=ln$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$+|$\frac{1}{2}-a$|=ln$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$$+a-\frac{1}{2}$$＜a-\frac{1}{2}$
f（$\sqrt{e}$）=$\frac{1}{2}$+a|e-1|=$\frac{1}{2}+ae-a$，
∵$\frac{1}{2}+ae-a$-（a-$\frac{1}{2}$）=ae-2a+1=a（e-2）+1＞0，
∴f（$\sqrt{e}$）＞f（$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$）
∴在（0，$\sqrt{e}$）f（x）無最大值，
∴當a＞0時，求函數f（x）在（0，$\sqrt{e}$）上無最大值．

點評 本題綜合考查了導數在求解函數單調性，最值中的應用，分類討論，求解不等式，中和性較大，屬于難度較大的題目．