Question

9．已知函數(shù)f（x）=lnx+a|x²-1|（a∈R）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）在（0，$\sqrt{e}$）上的最大值g（a）．

Answer 1

分析 （1）得出當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=lnx+|x²-1|=$\left\{\begin{array}{l}{lnx+{x}^{2}-1，x≥1}\\{lnx+1-{x}^{2}，0＜x＜1}\end{array}\right.$分段求解導(dǎo)數(shù)判斷即可．
（2）去絕對(duì)值得出：當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx+a{x}^{2}-a，x≥1}\\{lnx+a-a{x}^{2}，0＜x＜1}\end{array}\right.$，
利用導(dǎo)數(shù)分類討論得出：當(dāng)0＜a$≤\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在（0，$\sqrt{e}$）上單調(diào)遞增，f（x）無(wú)最大值，
當(dāng)a$＞\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在（0，$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$）上單調(diào)遞增，（$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$，1）單調(diào)遞減，在（1，$\sqrt{e}$）上單調(diào)遞增，
極大值為f（$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$），極小值為f（1）．
比較f（$\sqrt{e}$）＞f（$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$），即可判斷最值情況．

解答 解：∵f（x）=lnx+a|x²-1|（a∈R）．
∴（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=lnx+|x²-1|=$\left\{\begin{array}{l}{lnx+{x}^{2}-1，x≥1}\\{lnx+1-{x}^{2}，0＜x＜1}\end{array}\right.$
∵當(dāng)x≥1時(shí)，f′（x）=$\frac{1}{x}$+2x＞0，
∴函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∵當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）=$\frac{1}{x}$-2x=$\frac{1-2{x}^{2}}{x}$，
1-2x²＞0，0＜x$＜\frac{\sqrt{2}}{2}$
1-2x²＜0，x$＞\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴函數(shù)f（x）在（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）上單調(diào)遞減，
（2）函數(shù)f（x）=lnx+a|x²-1|（a∈R）．
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx+a{x}^{2}-a，x≥1}\\{lnx+a-a{x}^{2}，0＜x＜1}\end{array}\right.$
①∵當(dāng)x≥1時(shí)，f′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax＞0，
∴函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
②∵當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）=$\frac{1}{x}$-2ax=$\frac{1-2a{x}^{2}}{x}$，
1-2ax²＞0，0＜x$＜\frac{\sqrt{2a}}{2a}$
1-2ax²＜0，x$＞\frac{\sqrt{2a}}{2a}$，
∴當(dāng)0＜a$≤\frac{1}{2}$時(shí)，$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$≥1，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，
當(dāng)a$＞\frac{1}{2}$時(shí)，0＜$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$＜1，f（x）在（0，$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$）上單調(diào)遞增，（$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$，1）單調(diào)遞減，
綜上：當(dāng)0＜a$≤\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在（0，$\sqrt{e}$）上單調(diào)遞增，f（x）無(wú)最大值，
當(dāng)a$＞\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在（0，$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$）上單調(diào)遞增，（$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$，1）單調(diào)遞減，在（1，$\sqrt{e}$）上單調(diào)遞增，
極大值為f（$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$），極小值為f（1）．
f（$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$）=ln$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$+a|$\frac{1}{2a}$-1|=ln$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$+|$\frac{1}{2}-a$|=ln$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$$+a-\frac{1}{2}$$＜a-\frac{1}{2}$
f（$\sqrt{e}$）=$\frac{1}{2}$+a|e-1|=$\frac{1}{2}+ae-a$，
∵$\frac{1}{2}+ae-a$-（a-$\frac{1}{2}$）=ae-2a+1=a（e-2）+1＞0，
∴f（$\sqrt{e}$）＞f（$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$）
∴在（0，$\sqrt{e}$）f（x）無(wú)最大值，
∴當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）在（0，$\sqrt{e}$）上無(wú)最大值．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了導(dǎo)數(shù)在求解函數(shù)單調(diào)性，最值中的應(yīng)用，分類討論，求解不等式，中和性較大，屬于難度較大的題目．