【題目】若是素數(shù)，證明存在0，1，2，…，的一個排列（，，…，），使得，，，…，.被除的余數(shù)各不相同.

【答案】見解析

【解析】

是素數(shù)，由孫子定理，對每個，存在，使得

有解.

設(shè)，并用表示被除的余數(shù)，

則.

（1）首先證明，且時，.

這是因為，

，

.

（2）其次證明，.

否則，若，則，，

時，由于，有.

從而，有

. （2）

從（2），至少有一個，滿足，即. （3）

如果（3）取等號，則由（2）可知，對于，不但模長皆為2，而且輻角都應(yīng)相等.又利用（2）可知，則，這里，.再利用（1）可以看到次多項式當(dāng)時均為0，從而這多項式恒等于0.那么，

. （4）

由于，從而可以知道，，…，是一的次方根.

綜上所述，.

最大值中的最小值達(dá)到時，在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)，，…，所對應(yīng)的點是一個單位圓的內(nèi)接正邊形的個頂點.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】我國有一道古典數(shù)學(xué)名著——兩鼠穿墻：“今有垣厚十尺，兩鼠對穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問幾何日相逢？”題意是：“有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻（連線與墻面垂直），大老鼠第一天進(jìn)一尺，以后每天加倍，小老鼠第一天也進(jìn)一尺，以后每天減半，那么兩鼠第幾天能見面.”假設(shè)墻厚16尺，如圖是源于該題思想的一個程序框圖，則輸出的（ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

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【題目】將邊長為2的正沿著高折起，使，若折起后四點都在球的表面上，則球的表面積為（ ）

A. B. C. D.

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【題目】已知直線l：y=x+4，動圓⊙O：x2+y2=r2(1<r<2)，菱形ABCD的一個內(nèi)角為60°，頂點A、B在直線l上，頂點C、D在⊙O上.當(dāng)r變化時，求菱形ABCD的面積S的取值范圍.

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【題目】在時鐘的表盤上作9個的扇形，每一個都覆蓋4個數(shù)字，每兩個覆蓋的數(shù)字不全相同.求證：一定可以找到3個扇形，恰好覆蓋整個表盤.舉一個反例說明，作8個扇形將不具有上述性質(zhì).

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【題目】某輛汽車以千米小時的速度在高速公路上勻速行駛（考慮到高速公路行車安全要求時，每小時的油耗（所需要的汽油量）為升，其中為常數(shù)，且．

（1）若汽車以120千米小時的速度行駛時，每小時的油耗為11.5升，欲使每小時的油耗不超過9升，求的取值范圍；

（2）求該汽車行駛100千米的油耗的最小值．

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【題目】已知直線y=ax+1和拋物線y2=4x相交于不同的A，B兩點．

（Ⅰ）若a=-2，求弦長|AB|；

（Ⅱ）若以AB為直徑的圓經(jīng)過原點O，求實數(shù)a的值．

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【題目】，，…，是一個數(shù)列，對每個，，.如果，兩數(shù)不同，寫；如果，兩數(shù)相同，寫.于是得到一個新數(shù)列，，…，，其中.重復(fù)上述方法，得到一個由0及1兩個數(shù)字組成的三角形數(shù)表，最后一行僅一個數(shù)字，求這張數(shù)字表中1的和的最大值.

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【題目】某市電視臺為了宣傳舉辦問答活動，隨機(jī)對該市15～65歲的人群抽樣了人，回答問題統(tǒng)計結(jié)果如圖表所示．

組號

分組

回答正確
的人數(shù)

回答正確的人數(shù)
占本組的概率

第1組


5

0.5

第2組



0.9

第3組


27


第4組



0.36

第5組


3


(Ⅰ) 分別求出的值；

(Ⅱ) 從第2,3,4組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取6人，則第2,3,4組每組應(yīng)各抽取多少人?

(Ⅲ) 在(Ⅱ)的前提下，電視臺決定在所抽取的6人中隨機(jī)抽取2人頒發(fā)幸運(yùn)獎，求:所抽取的人中第2組至少有1人獲得幸運(yùn)獎的概率．

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