Question

12．在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知點R的極坐標(biāo)為（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（1）求點R的直角坐標(biāo)，化曲線C的參數(shù)方程為普通方程；
（2）設(shè)P為曲線C上一動點，以PR為對角線的矩形PQRS的一邊垂直于極軸，求矩形PQRS周長的最小值，及此時P點的直角坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)，消去參數(shù)可得普通方程即可；
（2）由參數(shù)方程，設(shè)出P的坐標(biāo)，得到矩形的周長，根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出最值．

解答 解：（1）點R的極坐標(biāo)為（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），直角坐標(biāo)為（2，2）；
曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），普通方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1；
（2）設(shè)P（$\sqrt{3}$cosθ，sinθ），則Q（2，sinθ），|PQ|=2-$\sqrt{3}$cosθ，|QR|=2-sinθ，
∴矩形周長=2（2-$\sqrt{3}$cosθ+2-sinθ）=8-4sin（θ+$\frac{π}{3}$），
∴當(dāng)θ=$\frac{π}{6}$時，周長的最小值為4，此時，點P的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

點評 本題考查點的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，以及利用平面幾何知識解決最值問題．利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換即得．