Question

3．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦點為F₁，F(xiàn)₂，P為橢圓上一點，且$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的最小值是2c²，其中$c=\sqrt{{a^2}-{b^2}}$．則橢圓的離心率是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，∠F₁PF₂=θ.$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$=mncosθ≥2c²，在△PF₁F₂中，由余弦定理可得：4c²=m²+n²-2mncosθ，再利用橢圓的定義、基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，∠F₁PF₂=θ．
$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$=mncosθ≥2c²，
在△PF₁F₂中，由余弦定理可得：4c²=m²+n²-2mncosθ，m+n=2a，
∴2mncosθ≥2mn-4c²=4c²，當(dāng)且僅當(dāng)m=n=a時取等號，
∴a²=4c²，
解得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
故選：A．

點評 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、余弦定理、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．