Question

5．已知曲線C：$\frac{x|x|}{{a}^{2}}$-$\frac{y|y|}{^{2}}$=1（a＞b＞0），下列敘述中正確的是（　�。�

• A． 垂直于x軸的直線與曲線C存在兩個(gè)交點(diǎn)
• B． 直線y=kx+m（k，m∈R）與曲線C最多有三個(gè)交點(diǎn)
• C． 曲線C關(guān)于直線y=-x對稱
• D． 若P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）為曲線C上任意兩點(diǎn)，則有$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0

Answer 1

分析 對x，y的符號進(jìn)行討論，得出曲線的圖象，根據(jù)橢圓與雙曲線的性質(zhì)進(jìn)行判斷．

解答 解：當(dāng)x＞0，y＞0時(shí)，曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，漸近線方程為y=$\frac{a}x$．
當(dāng)x＜0，y＞0時(shí)，曲線C方程為-$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，方程無解．
當(dāng)x＜0，y＜0時(shí)，曲線C方程為$\frac{{y}^{2}}{^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}=1$，漸近線方程為y=$\frac{a}x$．
當(dāng)x＞0，y＜0時(shí)，曲線C方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$．
作出曲線C的圖象如圖所示：
顯然y是關(guān)于x的函數(shù)，故A錯(cuò)誤．
由圖象可知當(dāng)直線y=kx+m經(jīng)過點(diǎn)（a，0）且k＞$\frac{a}$時(shí)，直線與曲線C有三個(gè)交點(diǎn)．
∵a≠b，∴曲線C不關(guān)于直線y=-x對稱，故C錯(cuò)誤．
由圖象可知y=f（x）為增函數(shù)，∴k${\;}_{{P}_{1}{P}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，故D錯(cuò)誤．
綜上，故選B．

點(diǎn)評 本題考查了曲線的方程的含義，橢圓與雙曲線的性質(zhì)，屬于中檔題．