Question

14．已知實數(shù)a，b滿足$\left\{{\begin{array}{l}{0＜a＜2}\\{0＜b＜2}\end{array}}\right.$，則方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$表示焦點在x軸上且離心率小于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的橢圓的概率為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 表示焦點在x軸上且離心率小于$\frac{\sqrt{3}}{2}$的橢圓時，（a，b）點對應(yīng)的平面圖形的面積大小和區(qū)域$\left\{{\begin{array}{l}{0＜a＜2}\\{0＜b＜2}\end{array}}\right.$的面積比值，即是所求的概率．

解答 解：∵方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$表示焦點在x軸上且離心率小于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的橢圓，
∴a＞b＞0，且$\frac{c}{a}$＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\frac{{a}^{2}{-b}^{2}}{{a}^{2}}$＜$\frac{3}{4}$，即a＜2b；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞b＞0}\\{a＜2b}\end{array}\right.$，
它對應(yīng)的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示：

則方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$表示焦點在x軸上且離心率小于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的概率為
P=$\frac{{S}_{△OAD}}{{S}_{矩形OABC}}$=$\frac{\frac{1}{2}×2×1}{2×2}$=$\frac{1}{4}$．
故選：C．

點評 本題考查了幾何概型的應(yīng)用問題，也考查了橢圓離心率的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．