Question

13．已知定義域為R的函數(shù)f（x），滿足對任意x∈R，都有f（1+x）=f（1-x），且f（-x）=f（x），當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=x，若函數(shù)g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lgx}&{（x＞0）}\\{\frac{-2}{x-1}}&{（x≤0）}\end{array}\right.$，則函數(shù)y=f（x）-g（x）在區(qū)間[-11，11]上的零點的個數(shù)是（　�。�

• A． 18
• B． 19
• C． 20
• D． 21

Answer 1

分析 根據(jù)條件關(guān)系，求出函數(shù)f（x）的表達式，作出f（x）與g（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合判定兩個函數(shù)圖象的交點即可的結(jié)論．

解答 解：令x=x+1，由f（1+x）=f（1-x），
得到f（x+2）=f（1-x-1）=f（-x），
∵f（-x）=f（x），
∴f（x+2）=f（x），
∴f（x）為以2為周期的周期函數(shù)，
∵x∈[0，1]時，f（x）=x，
當(dāng)x∈[-1，0]，f（x）=-x，
作出函數(shù)f（x）與g（x）的圖象，
由圖象可知，兩個圖象有19個交點，
即函數(shù)y=f（x）-g（x）在區(qū)間[-11，11]上零點的個數(shù)是19個．
故選：B．

點評 此題考查了函數(shù)與方程的知識，考查了轉(zhuǎn)化與化歸和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，由函數(shù)的三條件基本性質(zhì)進行分解，從而確定出函數(shù)f（x）在[-11，11]上的分段函數(shù)解析式，作出函數(shù)圖象是本題的突破點．難度較大．