Question

已知中心在原點，一焦點為F（0，

50

）的橢圓被直線l：y=3x-2截得的弦的中點橫坐標(biāo)為

1

2

．
（1）求此橢圓的方程；
（2）過定點M（0，9）的直線與橢圓有交點，求直線的斜率k的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)橢圓為

x2

b2

+

y2

a2

=1，由已知條件推導(dǎo)出a²=b²+50，

6b2

a2+9b2

=

1

2

，由此能求出橢圓．
（2）設(shè)過定點M（0，9）的直線為l，若斜率k不存在，直線l方程為x=0，與橢圓交點是橢圓的上頂點（0，5

3

）和下頂點（0，-5

3

）；若斜率k存在，直線l的方程為：y=kx+9，k≠0，代入橢圓方程，由△≥0，能求出直線的斜率k的取值范圍．

解答： 解：（1）∵橢圓中心在原點，一焦點為F（0，

50

），
∴設(shè)橢圓為

x2

b2

+

y2

a2

=1，（a＞b＞0），
a²=b²+c²=b²+50，①
把y=3x-2代入橢圓方程，得
a²x²+b²（3x-2）²=a²b²，
（a²+9b²）x²-12b²x+4b²-a²b²=0，
∵橢圓被直線l：y=3x-2截得的弦的中點橫坐標(biāo)為

1

2

，
∴

6b2

a2+9b2

=

1

2

，整理，得a²=3b²，②
由①②解得：a²=75，b²=25，
∴橢圓為：

x2

25

+

y2

75

=1．
（2）設(shè)過定點M（0，9）的直線為l，
①若斜率k不存在，直線l方程為x=0，與橢圓交點是橢圓的上頂點（0，5

3

）和下頂點（0，-5

3

）；
②若斜率k=0，直線l方程為y=9，與橢圓無交點；
③若斜率k存在且不為0時，直線l的方程為：y=kx+9，k≠0
聯(lián)立

y=kx+9 x2 25 + y2 75 =1

，得（3+k²）x²+18kx+6=0，
△=（18k）²-24（3+k²）≥0，
解得k≥

6

5

或k≤-

6

5

．
綜上所述：直線的斜率k的取值范圍k≥

6

5

或k≤-

6

5

或k不存在．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線的斜率的取值范圍的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意中點坐標(biāo)公式的合理運用．