Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=t，a₂=t²，且t≠0，前n項和為S_n，且S_n+2-（t+1）S_n+1+tS_n=0（n∈N^*）．
（1）證明數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，并求{a_n}的通項公式；
（2）當(dāng)＜t＜2時，比較2ⁿ+2^-n與tⁿ+t^-n的大��；
（3）若＜t＜2，b_n=，求證：++…+＜2ⁿ-．

Answer 1

（1）證明：由S_n+2-（t+1）S_n+1+tS_n=0，
得tS_n+1-tS_n=S_n+2-S_n+1，即a_n+2=ta_n+1（n∈N^*），
∴，
又a₁=t（t≠0），a₂=t²，∴，
∴數(shù)列{a_n}是以t為首項，t為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=tⁿ；
（2）解：∵（tⁿ+t^-n）-（2ⁿ+2^-n）
=
=
=（tⁿ-2ⁿ）[1-（）ⁿ]．
又＜t＜2，∴＜＜1，
則tⁿ-2ⁿ＜0且1-（）ⁿ＞0，
∴（tⁿ-2ⁿ）[1-（）ⁿ]＜0，
∴tⁿ+t^-n＜2ⁿ+2^-n．
（3）證明：∵=，
∴=（tⁿ+t^-n），
∴2（++…+）＜（2+2²+…2ⁿ）+（2^-1+2^-2+…+2^-n）
=
=2（2ⁿ-1）+1-2^-n
=2ⁿ⁺¹-（1+2^-n）＜2ⁿ⁺¹-2，
∴++…+＜2ⁿ-．
分析：（1）把給出的遞推式展開后整理，得到a_n+2=ta_n+1，由給出的a₁=t（t≠0），即可說明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，則通項公式可求；
（2）直接作差后由t的范圍可得差式的符號，則給出的兩個代數(shù)式的大小得到比較；
（3）把（1）中求出的a_n的通項公式代入，整理后可得=（tⁿ+t^-n），不等式右側(cè)放縮后利用等比數(shù)列求和公式可得結(jié)論．
點評：本題考查了由遞推式變形得數(shù)列的等比關(guān)系，考查了等比數(shù)列的通項公式，考查了作差法比較兩個代數(shù)式的大小，（3）中的放縮證明不等式是該題的難點，此題屬難題．