Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=

1

2

（|x-a²|+|x-2a²|-3a²）．若?x∈R，f（x-2）≤f（x），則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由于當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=

1

2

（|x-a²|+|x-2a²|-3a²）．可得當(dāng)0≤x≤a²時(shí)，f（x）=-x；當(dāng)a²＜x≤2a²時(shí)，f（x）=-a²；當(dāng)x＞3a²時(shí)，f（x）=x-3a²．畫出其圖象．由于函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，即可畫出x＜0時(shí)的圖象．
由于x∈R，f（x-2）≤f（x），可得6a²≤2，解出即可．

解答： 解：∵當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=

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（|x-a²|+|x-2a²|-3a²）．
∴當(dāng)0≤x≤a²時(shí)，f(x)=

1

2

(a2-x+2a2-x-3a2)=-x；
當(dāng)a²＜x≤2a²時(shí)，f（x）=-a²；
當(dāng)x＞3a²時(shí)，f（x）=x-3a²．
畫出其圖象．
由于函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，即可畫出x＜0時(shí)的圖象，
與x＞0時(shí)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
∵?x∈R，f（x-2）≤f（x），
∴6a²≤2，
解得-

3

3

≤a≤

3

3

．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為-

3

3

≤a≤

3

3

．
故答案為：[-

3

3

，

3

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)奇偶性、周期性，考查了分類討論的思想方法，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．