Question

在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=

1

4

，

an+1

an

=

1

4

，b_n+2=3log

1

4

a_n（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}滿(mǎn)足c_n=a_n•b_n，求{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由條件建立方程組即可求出數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法即可求{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：（1）∵a₁=

1

4

，

an+1

an

=

1

4

，
∴數(shù)列{a_n}是公比為

1

4

的等比數(shù)列，∴an=(

1

4

)n(n∈N*)，
又bn=3log

1

4

an-2，故 b_n=3n-2（n∈N^*）．
（2）由（1）知，an=(

1

4

)n，bn=3n-2(n∈N*)，
∴cn=(3n-2)×(

1

4

)n，(n∈N*)，
∴Sn=1×

1

4

+4×(

1

4

)2+7×(

1

4

)3+…+(3n-5)×(

1

4

)n-1+(3n-2)×(

1

4

)n，
于是

1

4

Sn=1×(

1

4

)2+4×(

1

4

)3+7×(

1

4

)4+…+(3n-5)×(

1

4

)n+(3n-2)×(

1

4

)n+1．
兩式相減，得

3

4

Sn=

1

4

+3[(

1

4

)2+(

1

4

)3+…+(

1

4

)n]-(3n-2)×(

1

4

)n+1=

1

2

-(3n+2)×(

1

4

)n+1．
∴Sn=

2

3

-

3n+2

3

×(

1

4

)n(n∈N*)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的計(jì)算，以及利用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和的內(nèi)容，考查學(xué)生的計(jì)算能力．